TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 429

Beweisen Sie, daß die angegebene Identität in einem Ring $R$ für alle $a,b\in R$ gilt (-$c$ bezeichnet das additive Inverse zu $c$)

$(-a).(-b)=a.b$

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oder

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Angabetext
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Angabe

Beispiel Nr.:
WS2007: 303 WS2014: 421

Lösungsvorschlag von Apfelsaft

Mein Beweis ist etwas umständlich. Geht sicher auch einfacher.

$a+(-a)=0$ $\mid *(-b)$

$a(-b)+(-a)(-b)=0$ $\mid +(ab)$

$a(-b)+(-a)(-b)+(ab)=(ab)$

Behauptung: $a(-b)=-(ab)$

Beweis:

$b+(-b)=0$ $\mid *a$

$ab+a(-b)=0$ $\mid +(-ab)$ denn es gilt das Distributivgesetz für Ringe.

$ab+a(-b)+(-ab)=-(ab)$ $\mid$ Abziehen von $(-ab)$ von $ab$

$a(-b)=-(ab)$

Durch Beweis gewonnene Erkentnisse anwenden:

$-(ab)+(-a)(-b)+(ab)=(ab)$

$(-a)(-b)=(ab)$

Andere Lösung:

$a+(-a)=0$ $\mid *(-b)$

$a(-b)+(-a)(-b)=0$ $\mid +(ab)$

$a(-b)+(-a)(-b)+(ab)=(ab)$

$a(b-b)+(-a)(-b)=(ab)$

$a*0+(-a)(-b)=(ab)$

$(-a)(-b)=(ab)$

weil aus dem Buch

$0+0=0$ $\mid *(a)$

$a*(0+0)=a*0$

$a*0+a*0=a*0$ $\mid -(a*0)$

$a*0=0$

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