TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 36

Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von $\sqrt[4]{1+i}$ in der Form $[r,\varphi ]$.

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$z_1=1+i=[\sqrt{2},\frac{\pi }{4}]$

Nützliches

$\varphi$ = arctan(b/a)

z = $[r,\varphi ]$

$\sqrt[n]{z}=[\sqrt[n]{r},\frac{\varphi }{n}+\frac{2k\pi }{n}]$

Lösung

$w_0=[\sqrt[8]{2},\frac{\pi }{16}]$

$w_1=[\sqrt[8]{2},\frac{\pi }{16}+\frac{\pi }{2}]$

$w_2=[\sqrt[8]{2},\frac{\pi }{16}+\pi ]$

$w_3=[\sqrt[8]{2},\frac{\pi }{16}+\frac{3\pi }{2}]$

Frage: Ist hier nicht $\sqrt[4]{2}$ statt $\sqrt[8]{2}$ gemeint?

Antwort: $\sqrt[8]{2}$ entsteht durch $\sqrt[4]{\sqrt{2}}$