TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 448

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Man untersuche das Polynom auf Irreduzibilität a) über Q; b) über

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Lösung von AndiOnline[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Polynomen 2. und 3. Grades kann man die Irreduzibilität durch Bestimmen der Nullstellen herausfinden.

a) x kann als Bruchzahl dargestellt werden, wobei teilerfremd sind. p/q: p,q sind Element der ganzen Zahlen ohne Null, ggT(p,q)=1.

D.h. die Nullstellen müssen (falls vorhanden) plus oder minus 1 sein. Jetzt gebrauch ich auch mal die schöne Formulierung, die mich schon manchmal um den Verstand gebracht hat: "Wie sich durch einfaches nachrechnen feststellen lässt" ist weder -1 noch +1 eine Nullstelle, daher gibt es in Q keine Nullstellen, d.h. Polynom ist irreduzibel.

b) Für ergibt sich durch Ausprobieren:

D.h. das Polynom ist reduzibel und zwar lautet das kleinere Polynom (x - 2).

Beweis:

(x^3 - x^2 + 1) : (x - 2) = (x^2 + x + 2)
-x^3 +2x^2
0   + x^2 + 1
    -(x^2 - 2x)
            2x + 1
          (-2x - 4)
               + 5 = 0 mod 5 => 0 Rest

Das heißt das Polynom ist in zerlegbar.

Einsetzen von 2 ergibt: was zum richtigen Ergebnis führt.

Lösung wurde so in der Übungsstunde bei Hr. Prof. Urbanek durchgerechnet.

edit:

Wenn ich nun aber zur Gegenprobe rechne kommt raus. Hat dazu jemand eine Ahnung?

Edit von Mure: -->Weil der Rest (in dem Fall: +5), in der Lösung, vergessen wurde.. lautet korrekt:

Edit von Willi: Modulo 5 ist -4 und +1 das selbe.