Zeigen Sie, daß die Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},{\vec {x_{3}}}$ genau dann linear unabhängig sind, wenn ${\vec {x_{1}}}+{\vec {x_{2}}},{\vec {x_{2}}}+{\vec {x_{3}}},{\vec {x_{3}}}$ linear unabhängig sind.

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Theoretische Grundlagen (von mnemetz)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir befinden uns in $\mathbb {R} ^{n}$ und betrachten:

Vektoren: ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}\in \mathbb {R} ^{n}$
Skalare: $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\in \mathbb {R}$

Ein Vektor mit der Form ${\vec {y}}=\lambda _{1}*{\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\dots +\lambda _{n}*{\vec {x_{n}}}$ heißt Linearkombination der Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ .

Die Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ heißen linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: ${\vec {x_{1}}}=\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\lambda _{3}*{\vec {x_{3}}}+\dots +\lambda _{n}*{\vec {x_{n}}}$

Andernfalls heißen ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ linear unabhängig.

Satz: Die Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: $\lambda _{1}*{\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\dots +\lambda _{n}*{\vec {x_{n}}}={\vec {0}}\Rightarrow \lambda _{1}=\lambda _{2}=\dots =\lambda _{n}=0$

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst schreiben wir die Linearkombination unserer Vektoren auf:

$\lambda _{1}*{\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\lambda _{3}*{\vec {x_{3}}}=0$

In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein!

$\mu _{1}*({\vec {x_{1}}}+{\vec {x_{2}}})+\mu _{2}*({\vec {x_{2}}}+{\vec {x_{3}}})+\mu _{3}*{\vec {x_{3}}}=0$

Wir multiplizieren das aus ...

$\mu _{1}*{\vec {x_{1}}}+\mu _{1}*{\vec {x_{2}}}+\mu _{2}*{\vec {x_{2}}}+\mu _{2}*{\vec {x_{3}}}+\mu _{3}*{\vec {x_{3}}}=0$

... und fassen wieder zusammen, was zusammen gehört:

$\mu _{1}*{\vec {x_{1}}}+(\mu _{1}+\mu _{2})*{\vec {x_{2}}}+(\mu _{2}+\mu _{3})*{\vec {x_{3}}}=0$

Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.

$\lambda _{1}=0\Rightarrow \mu _{1}=0$

$\lambda _{2}=0\Rightarrow \mu _{1}+\mu _{2}=0\Rightarrow \mu _{2}=0$

$\lambda _{3}=0\Rightarrow \mu _{2}+\mu _{3}=0\Rightarrow \mu _{3}=0$

$\mu _{1}=0\Rightarrow \lambda _{1}=0$

$\mu _{2}=0\Rightarrow \lambda _{1}+\lambda _{2}=0\Rightarrow \lambda _{2}=0$

$\mu _{3}=0\Rightarrow \lambda _{2}+\lambda _{3}=0\Rightarrow \lambda _{3}=0$

Lösungsvorschlag von m4rS[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigentlich eh der gleiche wie oben, nur ein wenig anders formuliert

$\lambda _{1}*{\vec {x}}+\lambda _{2}*{\vec {y}}+\lambda _{3}*{\vec {z}}=0$ Das ist die Linearkombination von x,y,z

$\mu _{1}*({\vec {x}}+{\vec {y}})+\mu _{2}*({\vec {y}}+{\vec {z}})+\mu _{3}*{\vec {z}})=0$ Das die der Angabe, da beide 0 ergeben können wir sie gleichsetzen.

$\lambda _{1}*{\vec {x}}+\lambda _{2}*{\vec {y}}+\lambda _{3}*{\vec {z}}=\mu _{1}*({\vec {x}}+{\vec {y}})+\mu _{2}*({\vec {y}}+{\vec {z}})+\mu _{3}*{\vec {z}})$ Jetzt bringen wir alles auf eine Seite und multiplizieren aus

$\lambda _{1}*{\vec {x}}+\lambda _{2}*{\vec {y}}+\lambda _{3}*{\vec {z}}-\mu _{1}*{\vec {x}}-(\mu _{1}+\mu _{2})*{\vec {y}}-(\mu _{2}+\mu _{3})*{\vec {z}}=0$ , ist das gleiche wie

$(\lambda _{1}-\mu _{1})*{\vec {x}}+(\lambda _{2}-(\mu _{1}+\mu _{2}))*{\vec {y}}+(\lambda _{3}-(\mu _{2}+\mu _{3}))*{\vec {z}}=0$ Womit wir wieder eine Linearkombination haben, wobei wie in der Annahme am Anfang gilt, dass sie linear unabhängig ist, wenn alle drei Koeffizienten 0 sind. Weiter sind nach der Annahme am Anfang $\mu _{1}=\mu _{2}=\mu _{3}=0$ , also müssen die Lambda auch alle null sein, sonst sind unsere neuen Koeffizienten nicht null.