TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 50

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Man untersuche die Folge \langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen \langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}},\langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} mit b_n \leq a_n \leq c_n finde.

a_n=\frac{n^2+1}{n^3+1}+\frac{n^2+2}{n^3+2}+ ... + \frac{n^2+n}{n^3+n}

Lösung[Bearbeiten]

Sandwich-Theorem[Bearbeiten]

Buch: Satz 4.22 (Seite 146) Im Grunde steht da nur das von der Angabe. Vielleicht findet man Hinweise zur Anwendung wenn man's googelt (auch Einschließungssatz, Einschnürungssatz, oder engl. Squeeze-Theorem)

Anwendung[Bearbeiten]

Bringen wir das mal in eine Summenformel:

a_n = \sum_{k=1}^n \frac{n^2+k}{n^3+k}=

Damit sollte die Folge der Angabe rauskommen.

Wir überlegen uns jetzt 2 Folgen, die zu unserer zwar unterschiedlich sind aber gegen den selben Grenzwert streben. Eine Folge die kleiner ist (\langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}), eine die größer ist (\langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}). Wenn die beiden gegen den selben Grenzwert streben und unsere genau dazwischen liegen soll, haben wir den Grenzwert bewiesen.

Uns stört vor allem, dass das n innerhalb der Summenformel vorkommt. Wir wollen eine offensichtlich kleinere (und eine zweite, größere Folge) bei der n nämlich unendlich ist. Also versuchen wir eine kleinere/größere Formel zu finden bei der man das n weglassen/herausheben kann.

Wir wissen laut Buch 4.38 dass

a_n = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=1

Bemerkung: Das sollte glaub ich sein: a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=1

Wäre schön wenn wir das mit einer deutlich kleineren als unserer Folge auch machen könnte. Und k ist immer kleiner n. Also formen wir um:

a_n = \sum_{k=1}^n \frac{n^2+k}{n^3+k} \leq \sum_{k=1}^n \frac{k+1}{k^2+1} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k*(k+1)}= 1 = b_n

Anm.[Bearbeiten]

Kann wohl nicht stimmen, hier sollte b_n <= a_n sein, und nicht umgekehrt!


Und für was größeres:

a_n = \sum_{k=1}^n \frac{n^2+k}{n^3+k} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = 1 = c_n

Wir sehen, beide Folgen haben den Grenzwert 1 also hat a_n ebenfalls den Grenzwert 1!

Und noch ein paar Werte, die es bestätigen:

a_1 = 2,00000

a_2 = 1,79192

a_3 = 1,55581

a_4 = 1,41631

a_5 = 1,32991

a_6 = 1,27225

a_7 = 1,23136

a_8 = 1,20097

a_9 = 1,17754

a_10 = 1,15895

.

.

.

a_1000 = 1,00150


Meine Berechnung dazu:

a_1 = 1

a_2 = 1,16

a_3 = 1,14

a_4 = 1,11

...

Aber auch a_n \leq b_n mit a_n = \sum_{k=1}^n \frac{n^2+k}{n^3+k}; b_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k*(k+1)} stimmt nicht, da z.B.:

a_1 = 1

a_2 = 1,16

a_3 = 1,14

und

b_1 = 1/2

b_2 = 4/6

b_3 = 9/12

--78.104.123.6 19:42, 26. Dez. 2011 (CET)

Forum-Posts zu Sandwich-Theorem[Bearbeiten]

https://web.archive.org/web/20180817161535/https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php%3ftopic=66446

https://web.archive.org/web/20180817161538/https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php%3ftopic=92762

https://web.archive.org/web/20180817161544/https://www.matheraum.de/read?t=332410

Bemerkung !!!

1/n --> 0 nicht --> 1 !

Anmerkung[Bearbeiten]

Wenn mich nicht alles täuscht, hast du als cn die harmonische Reihe genommen und die ist doch divergent. Sie konvertiert also mitnichten gegen 1. --Neverlasting

@Neverlasting: Nein, es ist nicht die harmonische Reihe. Da 'n' hier NICHT unsere Laufvariable (sondern 'k') ist. Unsere 'Folge' sieht wie folgt aus:
z.B. für n=3: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1