TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 63

Man finde eine explizite Darstellung für die Partialsummen der Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$

und berechne damit - wenn möglich - die Summe.

(Anleitung: Man beachte, dass $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ gilt.)

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}& =\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\\ & =\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\dots -\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\ & =1-\frac{1}{n+1}\end{array}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{1}{n+1})=1$