TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 175

Wie viele natürliche Zahlen $n<100.000$ enthalten in ihrer Dezimalentwicklung genau dreimal die Ziffer 3?

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Lösungsvorschlag

1. Es gibt genau 100.000 Möglichkeiten für 5- stellige Dezimalzahlen von 00000 bis 99999

2. Es gibt folgende Kombinationen von 3*3 Ziffern auf 5 Positionen:

   ${\frac {n!}{k!*(n-k)!}}={\frac {5!}{3!*(5-3)!}}={\frac {120}{12}}=10$ Kombinationen.

3. Jede Kombination wird an 2 Stellen mit einer Ziffer aus 0-2 und 4-9, also 9 Möglichkeiten aufgefüllt.

Das ergibt 9*9 oder 81 Möglichkeiten.

4. Die Anzahl der Ziffern ist Anzahl der Kombinationen 10 *81 = 810

Hapi

Alternative Lösung

Das Problem kann man in zwei Teile zerlegen:

1. Permutation mit Wiederholung der Multimenge $\{X,X,3,3,3\}$ (zwei beliebigen Ziffern $X\in \{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}$): ${\frac {(n_{3}+n_{X})!}{n_{3}!\cdot n_{X}!}}={\frac {(3+2)!}{3!\cdot 2!}}={\frac {5!}{3!\cdot 2!}}=10$
2. Variation mit Wiederholung von zwei Ziffern $XX$: $9^{2}=81$

Gemäß der Produktregel werden diese zwei Ergebnisse nun multipliziert: $81\cdot 10=810$.

-- Superwayne 22:48, 26. Nov. 2014 (CET)