TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 48
Man untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen , mit finde:
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Lösungsvorschlag von --W wallner[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der folgende Beweis wurde in der Übung am 24.01.08 durch den Tutor als korrekt bestätigt.
Die Werte von beginnen bei (für n=1) und fallen dann ziemlich schnell ab. Wenn man sich die Werte in einem Diagramm darstellen lässt, liegt der Verdacht nahe, dass die Folge gegen 0 konvergiert.
Ich habe folgende Folgen für den Beweis des Sandwich-Theorems gewählt:
und konvergieren beide gegen 0, wobei und gilt. Die Auswahl der beiden Folgen ist willkürlich, d.h. der Beweis würde genau so gut mit anderen Folgen funktionieren, wenn diese Folgen die Kriterien erfüllen.
Begründung für : Wir suchen eine beliebige Folge die immer kleiner ist als und gegen 0 konvergiert. Die einfachste Folge ist .
Begründung für :
Wir suchen eine uns bekannte (und möglichst einfache) Folge, die gegen 0 konvergiert, aber immer größer als ist. Welche Folge wir dafür benutzen ist egal. Wir versuchen also die Folge so zu vereinfachen, dass wir eine größere Folge erhalten. Wenn wir in alle Ausdrücke wie (n+1), (n+2), (n+3), etc. durch (n+0) = (n) ersetzen, erhalten wir statt
diesen Ausdruck
Dieser Ausdruck ist immer größer als der ursprüngliche, weil die Nenner immer kleiner sind. Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass er gegen 0 konvergiert. Wir vereinfachen daher:
Und dieser Ausdruck konvergiert gegen 0:
mfg, --W wallner
Anmerkung von loop[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wo konvergiert das gegen 0? Für mich ist das eine gleichbleibende Folge ohne Grenzwert, da verändert sich ja nichts.
Antwort von Blµb[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
bei n=5:
bei n=6
somit ist das ergebnis wie oben bei jedem n: und je höher n, desto näher ist das Ergebnis bei 0
Nützliches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wikipedia-Artikel zum Sandwich-Theorem