TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 116

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Man zeichne den Graphen der Funktion f(x) und bestimme alle Stellen, an denen f(x) stetig ist.

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild der Funktion
Intervall
  • Die Funktion ist symmetrisch entlang der X-Achse.
  • Der Intervall ist immer gleich und hängt von der Periode von Sinus ab. Bei f(x)=sin(x) ist die Periode 2Pi, bei f(x)=sin(Pi*x) ist die Periode 2(2Pi/Pi).
  • Die Funktion ist stetig steigend in den Bereichen: 0,5-1,5;2,5-3,5;...
  • Die Funktion ist stetig fallend in den Bereichen: 0-0,5;1,5-2,5;...
  • Für den negativen Bereich gilt wegen der X-Achsen Symmetrie genau dasselbe.

Lösungsvorschlag von Slaybert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

g(x) ist stetig, weil Funktionsauswertung und Grenzwertbildung an jeder beliebigen Stelle das Gleiche liefert.

Da h(x) immer zwischen 1 und -1 wechselt ist h(x)g(x) immer stetig und entweder positiv oder negativ zwischen den Stellen an denen g(x) wechselt.

An den Stellen an denen g(x) wechselt (nämlich bei ) ist f(x)=0, weil g(x)=0 laut Definition von sgn(x). An diesen Stellen springt f(x) erst auf Null und dann in den positiven/negativen Bereich.

f(x) ist also bei stetig.

--Slaybert (Diskussion) 10:50, 27. Apr. 2013 (CEST)

Lösungsvorschlag von Tr4in[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion weist Lücken in fast allen ganzzahligen Punkten auf.

  • In den Punkten 1 und -1 sieht es aus, dass die Funktion stetig ist.
  • Im Punkt 0 jedoch sieht es so aus, dass die Funktion nicht stetig ist.

Ich habe die Punkte mit links- und rechtsseitigen Grenzwerten untersucht:

Linksseitiger Grenzwert:

Rechtsseitiger Grenzwert:

Diese beiden Grenzwerte stimmen mit dem Funktionswert im Punkt überein:

Somit ist die Funktion im Punkt stetig.

Linksseitiger Grenzwert:

Rechtsseitiger Grenzwert:

Auch diese beiden Grenzwerte stimmen mit dem Funktionswert im Punkt überein:

Somit ist die Funktion im Punkt stetig.

Linksseitiger Grenzwert: Ich nähere mich von der negativen x-Achse an den Punkt an:

Rechtsseitiger Grenzwert: Ich nähere mich von der positiven x-Achse an den Punkt an:

Der links- und rechtsseitige Grenzwert sind nicht gleich Die Funktion ist im Punkt nicht stetig. Warum? Weil die beidseitigen Grenzwerte mit den Funktionswert übereinstimmen müssen, was ja nicht der Fall ist.


Die Funktion ist in stetig.