TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 381

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Man zeige: Das Zentrum Z(G) = {x ∈ G | x · y = y · x f¨ur alle y ∈ G} einer Gruppe

ist Normalteiler von G.

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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Sei , da das neutrale Element .

Seien weiters und daher auch das inverse Element

Aus der Voraussetzung folgt für ein beliebiges :

.

Daher gilt auch .

Aufgrund des Satzes "Eine Untergruppe H von G ist genau dann Normalteiler, wenn für jedes und gilt: ." ist nun bewiesen, dass Z(G) ein Normalteiler von G ist.

lg f.l.o.