TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 36

Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von ${\sqrt[{4}]{1+i}}$ in der Form $[r,\phi ]$.

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$z_{1}=1+i=[{\sqrt {2}},{\frac {\pi }{4}}]$

Nützliches

$\phi$ = arctan(b/a)

z = $[r,\phi ]$

${\sqrt[{n}]{z}}=[{\sqrt[{n}]{r}},{\frac {\phi }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}]$

Lösung

$w_{0}=[{\sqrt[{8}]{2}},{\frac {\pi }{16}}]$

$w_{1}=[{\sqrt[{8}]{2}},{\frac {\pi }{16}}+{\frac {\pi }{2}}]$

$w_{2}=[{\sqrt[{8}]{2}},{\frac {\pi }{16}}+\pi ]$

$w_{3}=[{\sqrt[{8}]{2}},{\frac {\pi }{16}}+{\frac {3\pi }{2}}]$

Frage: Ist hier nicht ${\sqrt[{4}]{2}}$ statt ${\sqrt[{8}]{2}}$ gemeint?

Antwort: ${\sqrt[{8}]{2}}$ entsteht durch ${\sqrt[{4}]{\sqrt {2}}}$