TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 38

Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von $\sqrt[3]{-i}$ in der Form $[r,\phi ]$.

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Lösung nach der Übung vom 29.10.2007:

Durch die Darstellung auf der Gauß'schen Zahlenebene erkennt mann, dass der Winkel -90° ist - dh. $\frac{-\pi }{2}$,

z=0-i dh: a=0, b=-1

r=1

(siehe Erklärung analog mit Hapi weiter unten)

In Polardarstellung lautet $\sqrt[3]{-i}$ in der Form $[r,\phi ]$ = $[1,\frac{-\pi }{2}]$

dann muss noch in die folgende Formel eingesetzt werden:

wj = [$\sqrt[n]{R}$, $\frac{\phi }{n}$ + $\frac{2\ast \pi \ast j}{n}$]

Das ergibt:

[1, $\frac{-\pi }{6}$] [1, $\frac{\pi }{2}$] [1, $\frac{7\pi }{6}$]

Lösungsvorschlag

Da es sich um eine 3-te Wurzel handelt, gibt es drei Lösungen.

Die Koordinaten in der Gaußschen Zahlenebene sind daher: Z = 0 -i (Form a - bi), was 3/2 $\pi$ oder 270 Grad entspricht.

Auch der Betrag von z ist hier einfach: $z=\sqrt{0+i^2}=\sqrt{1}=1$. Der Wert von r ist daher nicht ganz überraschend 1. Das heißt, alle 3 gesuchten Werte liegen am Einheitskreis.

 Z = |Z| *$(cos\varphi$ - i.sin$\varphi$) = |Z| * (0 -i)   Leicht mit Angabe nachzuprüfen.

 Z0 = $[\sqrt[3]{1}$, $\frac{3\ast \pi }{2}+\frac{2\ast \pi }{3}\ast 0]=[1,\frac{9\ast \pi }{6}]$
 Z1 = $[\sqrt[3]{1}$, $\frac{3\ast \pi }{2}+\frac{2\ast \pi }{3}\ast 1]=[1,\frac{\pi }{6}]$
 Z2 = $[\sqrt[3]{1}$, $\frac{3\ast \pi }{2}+\frac{2\ast \pi }{3}\ast 2]=[1,\frac{5\ast \pi }{6}]$

Hapi

Frage: Sollte man den Startwinkel nicht auch /3 dividieren ? D.h. 2/3pi / 3 = 3/6pi als Z0 und 7/6pi als Z1 und 11/6pi als Z2 ? Schlumie

Ja, da hat Schlumie recht, das würde dann wie folgt aussehen:

 Z0 = $[\sqrt[3]{1}$, $\frac{3\ast \pi }{6}+\frac{4\ast \pi }{6}\ast 0]=[1,\frac{3\ast \pi }{6}]=[1,\frac{\pi }{2}]$
 Z1 = $[\sqrt[3]{1}$, $\frac{3\ast \pi }{6}+\frac{4\ast \pi }{6}\ast 1]=[1,\frac{7\ast \pi }{6}]$
 Z2 = $[\sqrt[3]{1}$, $\frac{3\ast \pi }{6}+\frac{4\ast \pi }{6}\ast 2]=[1,\frac{11\ast \pi }{6}]$ durch den mod 2$\pi$ wird das $[1,\frac{5\ast \pi }{6}]=[1,-\frac{\pi }{6}]$

Dann sind die Ergebnisse gleich denen der Übung vom 29.10

skinner33

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Ähnliche Beispiele: 32 - 35.