TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 37

Man beweise ${\overline {\begin{pmatrix}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\end{pmatrix}}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}},(z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} )$.

Lösungsvorschlag mit Darstellung in Polarkoordinaten:

${\overline {\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)}}={\overline {\frac {[r_{1},\varphi _{1}]}{[r_{2},\varphi _{2}]}}}={\overline {\left[{\frac {r_{1}}{r_{2}}},{\varphi _{1}-\varphi _{2}}\right]}}=\left[{\frac {r_{1}}{r_{2}}},{-\varphi _{1}+\varphi _{2}}\right]={\frac {[r_{1},-\varphi _{1}]}{[r_{2},-\varphi _{2}]}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$

Denke das sind einfache Umformungen mit den Rechenregeln für Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten.

Das Stricherl über dem $z$ heißt, dass das ${\bar {z}}$ die konjugiert Komplexe Zahl von $z$ ist.

Siehe auch: https://web.archive.org/web/20180817161101/https://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen

Tonico

Alternative Lösung

für Leute, die lieber im Tabloid-Style rechnen :-),

Rechenregeln:

Konjunktion: ${\overline {z}}={\overline {[r,\varphi ]}}=[r,-\varphi ]$

Division: ${\frac {[r_{1},\varphi _{1}]}{[r_{2},\varphi _{2}]}}=[r_{1}/r_{2},\varphi _{1}-\varphi _{2}]$

Also:

${\overline {\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$

${\overline {\left({\frac {[r_{1},\varphi _{1}]}{[r_{2},\varphi _{2}]}}\right)}}={\frac {[r_{1},-\varphi _{1}]}{[r_{2},-\varphi _{2}]}}$

${\overline {[r_{1}/r_{2},\varphi _{1}-\varphi _{2}]}}=[r_{1}/r_{2},-\varphi _{1}+\varphi _{2}]$

$[r_{1}/r_{2},-\varphi _{1}+\varphi _{2}]=[r_{1}/r_{2},-\varphi _{1}+\varphi _{2}]$

--Baccus 05:29, 26. Nov 2006 (CET)