TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 4

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{j=2}^{n}j(j-1)={\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}\qquad (n\geq 2)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Induktionsanfang: $n=2$

Ergibt

$2(2-1)={\frac {(2-1)2(2+1)}{3}}$

$2={\frac {1*2*3}{3}}$

Induktionsannahme:

$\sum _{j=2}^{n}j(j-1)={\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}\qquad$

Induktionsvorraussetzung/Induktionsbehauptung: Es muss gezeigt werden dass gilt:

$\sum _{j=2}^{n+1}j(j-1)={\frac {(n)(n+1)(n+2)}{3}}$

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsvorraussetzung)

Die rechte Seite wird mit $(n+1)(n+1-1)$ addiert. Im folgenden wird nur die rechte Seite gerechnet - es soll sich ergeben: ${\frac {(n)(n+1)(n+2)}{3}}$

${\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}+(n+1)(n)=$

$={\frac {(n-1)n(n+1)+3(n+1)(n)}{3}}=$

$={\frac {n((n-1)(n+1)+3(n+1))}{3}}=$

$={\frac {n(n+1)((n-1)+3)}{3}}=$

$={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

Q.e.d.

Ergänzung: linke Seite

$\sum _{j=2}^{n+1}j(j-1)=$ $\sum _{j=2}^{n}j(j-1)+n(n+1)$