TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 331

Man bestimme zu den Permutationen

$\sigma =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 1& 4& 5& 2& 3& 7& 6& 8\end{array}\right),\rho =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 5& 4& 2& 1& 8& 7& 6& 3\end{array}\right)$

die Permutationen $\sigma \circ {\rho }^2$ und ${\sigma }^{-1}{\rho }^{-1}{\sigma }^2$ sowie deren Zyklendarstellungen und Vorzeichen.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

$\mathrm{sgn}(\pi )=(-1{)}^{\text{Anzahl Zykel}+\text{Laenge der Permutation}}$

Lösungsvorschlag

Für ${\sigma }^2$ führt man $\sigma$ 2x hintereinander aus

${\sigma }^2=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\end{array}\right)$

Deto für ${\rho }^2$:

${\rho }^2=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 8& 1& 4& 5& 3& 6& 7& 2\end{array}\right)$

Für ${\sigma }^{-1}$ vertauscht man die 2 Zeilen und sortiert die Spalten so, dass in der oberen Zeile die Zahlen wieder in aufsteigender Reihenfolge sind.

${\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 1& 4& 5& 2& 3& 7& 6& 8\end{array}\right)$

Deto für ${\rho }^{-1}$

${\rho }^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 4& 3& 8& 2& 1& 7& 6& 5\end{array}\right)$

Ergebnis der Permutationen von: $\sigma \circ {\rho }^2=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 8& 1& 2& 3& 5& 7& 6& 4\end{array}\right)$

In Zyklenschreibweise:

$\sigma \circ {\rho }^2=(18432)(67)$

$\mathrm{sgn}(\sigma \circ {\rho }^2)=(-1{)}^{2+7}=-1$

Alternativ betrachtet man die Anzahl von Elementen im Zyklus; bei einer gerade Anzahl vcn Elementen ist das Vorzeichen negativ, bei einer ungeraden Anzahl positiv; bei Permutationen werden die Vorzeichen der Zyklen einfach multipliziert $\mathrm{sgn}(\sigma \circ {\rho }^2)=(1)\ast (-1)=-1$

${\sigma }^{-1}{\rho }^{-1}{\sigma }^2=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 2& 5& 8& 4& 1& 6& 7& 3\end{array}\right)$

In Zyklenschreibweise:

${\sigma }^{-1}{\rho }^{-1}{\sigma }^2=(125)(38)$

$\mathrm{sgn}({\sigma }^{-1}{\rho }^{-1}{\sigma }^2)=(-1{)}^{2+5}=-1$ oder $(-1)\ast (1)=-1$

Fehler ausgebessert by Darki