TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 11

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{j=1}^n\frac{1}{j(j+1)}=\frac{n}{n+1}$, wobei $(n\ge 1)$

Induktionsanfang: $n=1$

Ergibt:

$\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{1+1}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

$\sum _{j=1}^{n+1}\frac{1}{j(j+1)}=\frac{n+1}{n+2}$

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsvorraussetzung)

Schritt 1

Das Summenzeichen sagt uns, dass wir von 1 bis n+1 addieren sollen. Das ist dasselbe als würden wir zuest 1 bis n addieren und dann noch n+1 dazu geben. Daraus folgt:

$\sum _{j=1}^{n+1}\frac{1}{j(j+1)}=\sum _{j=1}^n\frac{1}{j(j+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}$ (*)

Schritt 2

Aus der Angabe wissen wir (oder eher "vermuten wir"), dass

$\sum _{j=1}^n\frac{1}{j(j+1)}=\frac{n}{n+1}$

Deswegen können wir (*) umwandeln zu:

$\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}$ (#)

Schritt 3

Ziel ist es, die Induktionsvoraussetzung zu beweisen. Deswegen müssen wir jetzt den Term (#), der der linken Seite der Induktionsvoraussetzung entspricht, solange umformen, bis er genauso aussieht wie die rechte Seite der Induktionsvoraussetzung.

Kurz gesagt, wir müssen (#) umformen, bis wir als Ergebnis bekommen: $\frac{n+1}{n+2}$

$\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=$

$=\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=$

$=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=$

$=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=$

$=\frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}=$

$=\frac{n+1}{n+2}$

Zur Erinnerung: dieses Ergebnis (über dieser Zeile) ist die linke Seite der Induktionsvoraussetzung umgeformt. Wir setzen nun wieder in die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten dadurch:

$=>\frac{n+1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}$

Q.e.d.

Anmerkung: Ziel ist es doch die Induktionsbehauptung zu beweisen, oder?