TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 12

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{j=2}^n\frac{1}{j(j-1)}=\frac{n-1}{n}n\ge 2$

Induktionsanfang: $n=2$ Ergibt:

$\frac{1}{2(2-1}=\frac{2-1}{2}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ... OK

Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

$\sum _{j=2}^{n+1}\frac{1}{j(j-1)}=\frac{n}{n+1}$

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsbehauptung)

Die rechte Seite wird mit $\frac{1}{(n+1)(n+1-1)}$ addiert. Im folgenden wird nur die rechte Seite gerechnet - es soll sich ergeben: $\frac{n}{n+1}$

$\frac{n-1}{n}+\frac{1}{(n+1)n}=$

$=\frac{(n-1)(n+1)+1}{n(n+1)}=$

$=\frac{n^2-1+1}{n(n+1)}=$

$=\frac{n^2-1+1}{n(n+1)}=$

$=\frac{n^2}{n(n+1)}=$

$=\frac{n}{n+1}$

Q.e.d.