TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 137
Man bestimme die Anzahl der möglichen Tototipps (1,2,X) bei 12 Spielen und die Anzahl der möglichen richtigen Zehner (d.h. die Anzahl derjenigen Tips, die mit einer vorgegebenen Kolonne an genau 10 der 12 Stellen übereinstimmen),
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Anzahl der Möglichen Tototipps[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es gibt 12 Spiele zu je 3 Tipps (1,2,X). Es liegt eine Variation mit Wiederholung vor. Diese ist ein geordnetes k-Tupel {} (in unserem Falle) von nicht notwendig verschiedenen Elementen aus A.
Somit ist die Anzahl der möglichen Tototipps:
Anzahl der möglichen richtigen Zehner[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Anzahl der Zehner ist eine Kombination ohne Wiederholung. Eine Solche ist ein ungeordnetes k-Tupel {} (in unserem Falle) verschiedener Elemente von A (k-Elementige Teilmenge von A).
Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse ist somit .
Das ist aber noch nicht alles. Es gibt noch 2 "falsche" Zustände. Die Reihenfolge ist wichtig, Wiederholung erlaubt, also ist die Anzahl dieser "falschen" Zustände:
Um das Ganze abzuschließen führt man nun die beiden Teilergebnisse zusammen und erhält:
Somit gibt es 264 Möglichkeiten für richtige Zehner.
Frage von CG: Sicher dass es 2² falsche Zustände sind? damit hättest du dann ja xxxx xxxx xxab cd, wobei x die 10 richtigen sind und {a,b,c,d} eben diese 4 falschen.
Mehr Sinn würde es machen wenn man sagt: "diese 10 richtigen kann ich jetzt mit den 2 falschen kombinieren", also 66 * 2 = 132.
Auf dieses Ergebnis bin ich auch auf dem Weg gekommen indem ich versucht habe die 2 falschen Stellen aus den 12 herauszunehmen ohne Wiederholung.
Bemerkung von ML: Also ich würde dieses Beispiel anders lösen. Wir können hier doch ganz einfach sagen, dass es sich um eine Permutation einer Multimenge handelt und nehmen {r,r,r,r,r,r,r,r,r,r,f,f}
Wobei r...richtiger Tipp f... falscher Tipp
Jetzt wenden wir einfach (10+2)! / 10!*2! = 66 Weiteres muss man nicht beachten.
Man hat IMMER 2 falsche und 10 richtige aus einer Gesamtspielzeit von 12 Runden. In welcher Reihenfolge es auftritt ist uns egal. Wir wollen ja nur wissen wie viele Möglichkeiten es gibt und das ist dadurch wohl bewiesen.
@ML: das reicht noch nicht, denn du musst zu dem was du schon richtig erkannt hast, noch die verschiedenen falschen tipps einbeziehen. wenn man zb einen 10er hat der form a = rrrr rrrr rrff dann ist rrrr rrrr rr12 != rrrr rrrr rr21 also auch die falschen stellen können einen 10er verändern. und dafür gibts 2^2 möglichkeiten. xy, yx, xx, yy
Bemerkung: Da es ja drei verschiedene Tipps gibt (1,2,X), sollte es ja 3² mögliche falsche Tipps geben.