Beweise mit vollständiger Induktion:
∑j=0nj2j=2n+1(n−1)+2{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{n}j2^{j}=2^{n+1}(n-1)+2}, wobei: (n≥0){\displaystyle \left({n\geq 0}\right)}
(i) Induktionsanfang n=0:20+1(0−1)+2=0{\displaystyle n=0:2^{0+1}(0-1)+2=0}
(ii) Induktionsschritt
Induktionvoraussetzung:
∑j=0nj2j=2n+1(n−1)+2{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{n}j2^{j}=2^{n+1}(n-1)+2}, für: (n≥0){\displaystyle \left({n\geq 0}\right)}
Induktionsbehauptung:
∑j=0n+1j2j=2n+1+1.(n+1−1)+2{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{n+1}j2^{j}=2^{n+1+1}.(n+1-1)+2} ∑j=0n+1j2j=2n+2.n+2{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{n+1}j2^{j}=2^{n+2}.n+2} ∑j=0n+1j2j=∑j=0nj2j+(n+1).2n+1{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{n+1}j2^{j}=\sum \limits _{j=0}^{n}j2^{j}+(n+1).2^{n+1}} ∑j=0n+1j2j=2n+1(n−1)+2+(n+1).2n+1{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{n+1}j2^{j}=2^{n+1}(n-1)+2+(n+1).2^{n+1}} ∑j=0n+1j2j=2n+1(n−1+n+1)+2=2n+1.2n+2{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{n+1}j2^{j}=2^{n+1}(n-1+n+1)+2=2^{n+1}.2n+2} ∑j=0n+1j2j=2n+2.n+2{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{n+1}j2^{j}=2^{n+2}.n+2}
, wobei: 
, für: 
