TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 194

In einer Menge von n Personen können 13 Personen Deutsch, 8 Englisch, 7 Französisch, 5 Deutsch und Englisch, 6 Deutsch und Französisch, 3 Englisch und Französisch, 2 alle drei Sprachen und niemand keine der drei Sprachen. Wie groß ist n?

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Siebformel (Ergänzung von mnemetz)

Die Siebformel von Poincaré und Sylvester, auch Formel des Ein- und Ausschließens oder Inklusions-Exklusionsprinzip genannt, dient dazu, die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) einer endlichen Vereinigung nicht-disjunkter Mengen $A_{1},\dots ,A_{n}$ zu berechnen. Sie wird in der Kombinatorik und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet.

Variablen

P ... Menge aller Personen ($P=D\cup E\cup F$)

n ... Anzahl der Personen, entspricht der Mächtigkeit von P ($n=|P|$)

D ... Menge aller Personen die Deutsch sprechen

E ... Menge aller Personen die Englisch sprechen

F ... Menge aller Personen die Französisch sprechen

Lösungsvorschlag von Soymilk-Drinker

Gesucht ist n also die Mächtigkeit von P. P ist ja wiederum die Vereinigung von D, E und F. Um also auf die Mächtigkeit von P zu kommen verwendet man die Siebformel

$n=|P|=|D|+|E|+|F|-|D\cap E|-|D\cap F|-|E\cap F|+|D\cap E\cap F|$

Alle einzelnen Komponenten sind durch die Angabe gegeben

$|D|=13$ (Anzahl der Personen die Deutsch sprechen)

$|E|=8$

$|F|=7$

$|D\cap E|=5$ (Anzahl der Personen die Deutsch und Englisch sprechen)

$|D\cap F|=6$

$|E\cap F|=3$

$|D\cap E\cap F|=2$ (Anzahl der Personen die alle drei Sprachen sprechen)

Man muss also nur noch in die vorherige Formel einsetzen und erhält die Gesamtanzahl der Personen:

$n=|P|=13+8+7-5-6-3+2=16$

Die gesamte Menge umfasst also 16 Personen

Nachtrag von aläx:

Wäre es nicht einfacher wenn man die Menge aller Personen die Deutsch sprechen und die Menge aller Personen die nicht Deutsch sprechen addiert?

Also $|D|+|E\cap F|=13+3=16$

Nachtrag zum Nachtrag von aläx: Diese Überlegung ist falsch, man betrachte dazu nur kurz das VENN-Diagramm und schaue sich "die Menge aller Personen die nicht Deutsch sprechen" an, das ist (im allgemeinen) mehr als $|E\cap F|$ und stimmt hier nur zufällig. (Einfach die Rechnung mit anderen Zahlen durchspielen - es stimmt dann nicht mehr.)

Graphische Veranschaulichung (Ergänzung von mnemetz)

Mit VENN-Diagrammen veranschaulichen wir den Zusammenhang zwischen den Mengen:

Anm. v. PnotNP: Deutsch geschnitten Englisch muss 5 sein, nicht 2.

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Siehe auch: Beispiel_160