TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 9

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{l=1}^{n}{\frac {l}{3^{l}}}={\frac {3}{4}}-{\frac {2n+3}{4*3^{n}}}$

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{{Beispiel|1=
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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Induktionsanfang: n = 1

Induktionsvoraussetzung: es muss gezeigt werden das gilt $\sum _{l=1}^{n+1}{\frac {l}{3^{l}}}={\frac {3}{4}}-{\frac {2(n+1)+3}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

Induktionsschluss: Zur rechten Seite wird ${\frac {n+1}{\mathrm {3} ^{n+1}}}$ addiert.

Um die Nenner auf gleich zu bringen wird ${\frac {2n+3}{4*3^{n}}}$ mit 3 multipliziert und ${\frac {n+1}{\mathrm {3} ^{n+1}}}$ mit 4 multipliziert. Dann kommt heraus

${\frac {3}{4}}-{\frac {3(2n+3)-4(n+1)}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

Man darf dabei nicht vergessen das der Bruch subtrahiert wird und daher die Vorzeichen wechseln.

Danach die Klammern auflösen bis folgendes übrig bleibt:

$={\frac {3}{4}}-{\frac {6n+9-4n-4}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

$={\frac {3}{4}}-{\frac {2n+5}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

$={\frac {3}{4}}-{\frac {2(n+1)+3}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

q.e.d (quod erat demonstrandum)