Gegeben seien die folgenden binären Operationen $\bullet$ auf der Menge $A$ . Man untersuche die Operationen in Hinblick auf Assoziativität, Kommutativität sowie auf Existenz von neutralen oder inversen Elementen.
(a) $A=\{-1,0,1\},\bullet {\text{gewoehnliche Multiplikation}}$
(b) $A=\mathbb {N} ,a\bullet b=2^{ab}$
(c) $A=\mathbb {Q} ,a\bullet b=ab+1$
(d) $A=\mathbb {R} ,a\bullet b=|a+b|$
(e) $A\neq \emptyset ,a\bullet b=a$

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{{Beispiel|1=
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}}

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien die folgenden zweistelligen partiellen Operationen $\circ$ in der Menge M. Man untersuche, in welchem Fall eine Operation in der Menge M vorliegt. Welche Operationen sind assoziativ, welche kommutativ?

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$M=\{(-1,0,1\}$ , gewöhnliche Addition bzw. Multiplikation)

Addition: abgeschlossen, kommutativ, assoziativ

Multiplikation: 0*0 = 0, 0*1 = 0, 1*1 = 1 - abgeschlossen, kommutativ, assoziativ

Was ist mit (1 gemeint? Ich würde auch sagen dass hier keine algebraische Struktur vorliegt, da die Addition NICHT abgeschlossen ist. ZB. 1+1=2, nicht enthalten.

In der Übung hat Prof. Panholzer gemeint, dass bei $M=\{1,0,1\}$ die letzte 1 zuviel ist, also $M=\{1,0\}$ $\Rightarrow$ abgeschlossen

BEI MEINER ANGABE STEHT M={-1,0,1} UND NICHT WIE HIER M={1,0,1}! Trotzdem muss man 1 + 1 = 2 --> also nicht in M enthalten. Also nicht abgeschlossen bzgl. der Addition. Oder? ---

[Lösungsvorschlag von wimron][Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Operationstafel (auch Cayley-Tafel genannt; * steht für Multiplikation)

*	-1	1
-1	1	-1
0	0	0
1	-1	1

Abgeschlossen? Ja, da jede Multiplikation zweier Elemente aus A wieder ein Element aus A ergibt.

Assoziativ? (-1 * 0) * 1 = 0

-1 * (0 * 1) = 0

(begründet durch die Assoziativität der Multiplikation auf Z) Also ja, assoziativ.

Kommutativ? Bsp: -1 * 0 = 0

0 * -1 = 0

(Begründet durch die Kommutativität der Multiplikation auf Z) Also ja, kommutativ.

Existenz eines neutralen Elements? a * e = e * a = 0 (Anmerkung: a * e = e * a = a)

Neutrales Element ist 1, da:

-1 * 1 = -1

0 * 1 = 0

1 * 1 = 1

Inverses Element? Nein. Da a * a^-1 = a^-1 * a = e

Einsetzen:

-1 * (-1)^1 = 1

-1 * 1 = 1 (stimmt nicht, daher kein Inverses)

(b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$M=\mathbb {N} ,a\circ b=2^{ab}$

Abgeschlossen ja, kommutativ ja

$2^{2^{ab}\cdot c}\neq 2^{2^{bc}\cdot a}\Rightarrow$ nicht assoziativ!

Anmerkung von mick:

Ist das nicht falsch? Gehört nicht: a ring b = $2^{a}*(2^{b}*2^{c})=(2^{a}*2^{b})*2^{c}$

Anmerkung zur Anmerkung

von Vodi

Ich glaube, mick's Folgerung ist Falsch, da

2^{a}*2^{b}=2^{a+b}

. Siehe Potenzgesetze, 4. Reihe.

Ich glaube, dass hier etwas falsch verstanden wurde es handelt sich hier um $((2^{a})^{b})=2^{a}b$ daraus folgt, dass hier sehr wohl die assoziativität gilt weil $(((2^{a})^{b})^{c})=>(((2^{b})^{a})^{c})$

lasse mich aber auch eines besseren belehren

Edit vom 2.07.14: Ich denke mittels Substitution kann man sich gut veranschaulichen in welcher Reihenfolge die Operationen ausgeführt werden. Da in der Angabe nicht steht wie $2^{ab}$ zustande kommt würde ich stur mach der Regel arbeiten.\\ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\rightarrow 2^{ab}\cdot c=y\cdot c=2^{yc}=2^{2^{ab}c}\neq a\cdot 2^{bc}=a\cdot y=2^{ay}=2^{a2^{bc}}$