TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 366

Man zeige: Eine nichtleere Teilmenge U einer endlichen Gruppe G ist genau dann Untergruppe von G, wenn

$a,b\in U\Rightarrow ab\in U$

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Lösung

Also ein genau dann..wenn Beweis erfordert immer beide Richtungen zu beweisen.

1. Angenommen es gilt U ist eine eine Untergruppe von G, dann folgt natürlich aus der Abgeschlossenheit von Gruppen die Formel.

2. Angenommen die Formel gilt und U ist eine nichtleere Teilmenge einer ENDLICHEN Gruppe.

Aus der nichtleere der Menge folgt, irgendein a ist drin und aus der Formel folgt auch a*a ist drin. So nun ist das entweder wieder a oder was anderes zum Beispiel b. Sei nun a*a=a dann ist also a Inverselement von a und a Neutralelement ( bzgl. G), da es nur ein Neutralelement pro Gruppe gibt hätten wir also a=e. Sein nun a*a=b, dann ist auch b Element von U und auch a*b, das kann jetzt entweder a oder b oder wieder ein neues Element sagen wir c sein, für a*b=a*a*a=a unn a*b=a*a*a=b wissen wir wieder b bzw a ist neutral Element. Naja jetzt wieder mit c so weiter machen das hört ja nie auf.??? Nein da kommt zum Glück die Bedingung ins Spiel das G und damit auch U endlich sind und irgendwann muss gelten a*a*....*a=a, weil uns einfach die Möglichkeit ein neues noch nicht dagewesenes Element aus U auszuwählen. Also ist e Element von U. und es existiert ein k aus den natürlichen Zahlen so das a^k=e.

Es gilt, wenn nur e Element von U dann ist e*e=e und somit ist das auch das Inverselement von U drin, aber das ist ja nicht der soooo interessante Fall... Existiert nun ein weiteres Element, sagen wir a ungleich e , von dem wissen wir aber schon irgendwann gilt a^k=e, also gilt a*a^(k-1)=e und das ist das dann inverse von a, das natürlich auch in U ist.

Zusammenfassend, e ist in U und für jedes a gilt a^(-1) ist auch in U, abgeschlossen ist U auch, aslo U ist eine Untergruppe von G.

So, das war die Folkloreerklärung, jetzt ein wenig mathematischer.

Die 1. Richtung ist klar, die 2. ergibt sich so:

Sei $a\in U$, so ein Element existiert immer denn es gilt ja $U\neq \emptyset$. Ist nun a=e, hat sich alles erledigt. Ansonsten betrachtet man die Menge $\{a^{n}:n\in N\}$ .Nach der Formel sind alle Elemente dieser Menge, auch Elemente von U. Da aber U endlich ist, muss es zwei Indizes $i\ und\ j\ ,mit\ i\neq j$ geben so das gilt: $\ a^{i}=a^{j}$ Sei o.B.d.A. j > i. Dann ist $a^{j-i}=e$, und somit e Element von U.

Weiters gilt $a^{j-i-1}*a=e=a*a^{j-i-1}$. Da aber $a\neq e$ ist $j-i-1>0$, und somit ist $a^{j-i-1}\in U$ das inverse zu a.

QED

Lösungvorschlag von neo

Es gilt:
$\forall a,b\in U\Rightarrow ab\in U$
Da $G$ eine Gruppe ist, kann man sich ein paar Eigentschaften dazuschreiben:
$\forall a,b\in G\mid (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\to Assoziativitaet$
$\forall a,b\in G\mid a\circ b=ab\in G\to Abgeschlossenheit$
$\exists e\in G\mid \forall a\in G\mid e\circ a=a\to neutrales\,Element$
$\forall a\in G\exists a^{-1}\in G\mid a\circ a^{-1}=e\to inverses\,Element$

Nun die Schlussfolgerung, wieso $U$ mit der Eigentschaft $\forall a,b\in G\mid a,b\in U\Rightarrow ab\in U$ eine Untergruppe von $G$ ist:
$a,b\in U\Rightarrow a\circ b=ab\in U\to abgeschlossen$
$U\subseteq G\Rightarrow U\to assoziativ$ ($U$ erbt von $G$)
$\exists e\in G\mid \forall a\in G\mid e\circ a=a\Rightarrow \forall a\in U(U\subseteq G)\exists e\mid e\circ a=a\to neutrales\,Element$
$a,b\in U\Rightarrow a,a^{-1}\in U\to inverses\,Element$

Ich weiß nicht, ob man diese Eigenschaft auch tatsächlich von rechts nach links beweisen müsste, nur weil in der Angabe "genau dann" steht. Sollte dies der Fall sein, kann man ja von den Eigenschaften der Gruppe $G$ ausgehen (Abgeschlossenheit,etc..) und dann darauf schließen, dass $a,b\in U\Rightarrow a\circ b$ bzw. $ab\in U$