TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 367

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Man beweise die Gültigkeit der folgenden Rechenregeln in einer Gruppe

für beliebige :

(i) (Kürzungsregel)

(ii)

(iii)

(iv) Die Gleichung ist in stets

eindeutig lösbar.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}


Lösung von themoep[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erinnert euch: Eine Gruppe ist abgeschlossen, besitzt Assoziativitaet, hat ein Einheitselement und ein Inverses Element zu a. Diese Rechenregeln werden hier angewandt.

Hinweis:

(i)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


(ii)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


(iii)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]



)





(iv)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Lösung von Juggl3r[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(i)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir sehen, dass auf beiden Seiten der Gleichung links a steht. Wir multiplizieren also die Gleichung von links mit a^-1. (Achtung, wirklich von Links multiplizieren, da Kommutativität nicht gegeben ist.)

qed.

(ii)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenschaft eines inversen Elementes ist ja:

Das Gleiche können wir aber auf anwenden, also:

Allerdings muss auf Grund der Eigenschaften des inversen Elementes auch folgendes gelten (man kann es vertauschen):

Als nächsten Schritt multiplizieren wir von links mit a:

Und daraus ergibt sich schließlich:

qed

(iii)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

siehe oben

(iv)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Damit haben wir einmal bewiesen, dass die Gleichung lösbar ist. Wir müssen aber beweisen, dass die Gleichung eindeutig lösbar ist:

Dazu nehmen wir einmal an, dass es 2 Lösungen gibt:

Wir lösen die 2 Gleichungen:

Jetzt setzen wir gleich:

Also eindeutig lösbar.

qed.

Hoffe ich konnte helfen, gebe aber keine Gewähr, dass Lösungen stimmen!

Lösung für (iii) von Ryus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die oben vorgeschlagene Lösung funktioniert zwar, ich finde es jedoch etwas schwer drauf zu kommen. Daher hier eine möglicherweise einfachere Lösung:

Genau dann wenn das Inverse zu ist, muss gelten: .

Also rechnen wir das einfach mal unter mehrmaliger Anwendung des Assoziativgesetzes aus:

Damit ist die Aussage bewiesen.

--Ryus (Diskussion) 14:33, 23. Sep. 2015 (CEST)