TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 389

Bestimmen Sie alle Untergruppen der Gruppe der von 0 verschiedenen Restklassen modulo 5 mit der Multiplikation.

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Lösung (in Anlehnung an Beispiel 262)

Gruppe der von 0 verschiedenen Restklassen modulo 5

$G=\langle M,*\rangle$
$M=\{{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}}\}$

Hier die Operationstafel von $G$

$*$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$
${\overline {1}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$
${\overline {2}}$	${\overline {2}}$	${\overline {4}}$	${\overline {1}}$	${\overline {3}}$
${\overline {3}}$	${\overline {3}}$	${\overline {1}}$	${\overline {4}}$	${\overline {2}}$
${\overline {4}}$	${\overline {4}}$	${\overline {3}}$	${\overline {2}}$	${\overline {1}}$

Aus der Operationstafel sieht man, das ${\overline {1}}$ das neutrale Element ist. Weiters kann man die jeweils inversen Elemente bestimmten. Für die Inversen muß gelten :$a\circ b={\overline {1}}$, daher muß man nur die jeweiligen Elementpaare suchen bei denen mittels der Multiplikation das neutrale Element ${\overline {1}}$ rauskommt.

$a$	$a'$
${\overline {1}}$	${\overline {1}}$
${\overline {2}}$	${\overline {3}}$
${\overline {3}}$	${\overline {2}}$
${\overline {4}}$	${\overline {4}}$

Untergruppen von G

Jetzt muß man die Teilmengen von $M$ finden, die wiederum eine Gruppe bilden. Da wir wissen, daß das neutrale Element der Gruppe auch neutrales Element der Untergruppe ist, können wir eine Einschränkung bezüglich der möglichen Teilmengen machen.

• Die Teilmenge muß das neutrale Element beinhalten (und kann somit nicht die leere Menge sein)
• Es muß sich um eine echte Teilmenge handeln.

$M_{U}={\begin{cases}\{{\overline {1}}\}\\\{{\overline {1}},{\overline {2}}\}\\\{{\overline {1}},{\overline {3}}\}\\\{{\overline {1}},{\overline {4}}\}\\\{{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}\\\{{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {4}}\}\\\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {4}}\}\end{cases}}$

Jetzt muß für jede dieser Mengen mit der Multiplikation bestimmt werden ob alle Gruppeneigenschaften zutreffen, d.h. sie müssen

• abgeschlossen sein
• assoziativ
• existenz des neutralen Elementes
• inverse Elemente

Die Fordernung nach dem neutralen Element erfüllt sich von selbst, da wir das neutrale Element auf jedenfall in unserer Teilmenge haben. Da die Gruppe selbst assoziativ ist, gilt die Assoziativität der Elemente mit der Multiplikation auch für die Teilmengen. Somit wurden für alle gegebenen Teilmengen schon diese zwei Vorraussetzungen erfüllt.

Bestimmung der Abgeschlossenheit und finden der Inversen für die restlichen Teilmengen

$\langle \{{\overline {1}}\},*\rangle$

• ist abgeschlossen da ${\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {1}}$, wie man aus der obigen Operationstafel sehen kann
• ${\overline {1}}$ hat als inverses ${\overline {1}}$, wie man aus der Tabelle mit den inversen Elementen für $G$ sehen kann.

Alle hier geforderten Elemente liegen in der Teilmenge, also ist das eine Untergruppe

$\langle \{{\overline {1}},{\overline {2}}\},*\rangle$

• es fehlt das inverse Element zu ${\overline {2}}$
• ist nicht abgeschlossen da ${\overline {2}}*{\overline {2}}={\overline {4}}$ und ${\overline {4}}$ liegt nicht in unserer Teilmenge.

$\langle \{{\overline {1}},{\overline {3}}\},*\rangle$

• es fehlt das inverse Element zu ${\overline {3}}$
• ist nicht abgeschlossen da ${\overline {3}}*{\overline {3}}={\overline {4}}$ und ${\overline {4}}$ liegt nicht in unserer Teilmenge.

$\langle \{{\overline {1}},{\overline {4}}\},*\rangle$

• ist abgeschlossen, siehe Operationstafel
• die inversen Elemente sind auch in der Teilmenge enthalten lt. Tabelle der Inversen

$\langle \{{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\},*\rangle$

• ist nicht abgeschlossen, siehe Operationstafel
  
  

$\langle \{{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {4}}\},*\rangle$
$\langle \{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {4}}\},*\rangle$

• es fehlt das inverse Element zu ${\overline {2}}$ oder ${\overline {3}}$
• sind jeweils nicht abgeschlossen, siehe Operationstafel
  

Somit hat man alle Teilmengen durch und es existieren zwei Untergruppen von G:
$\langle \{{\overline {1}}\},*\rangle$
$\langle \{{\overline {1}},{\overline {4}}\},*\rangle$

Anmerkung: Es existieren sogar drei Untergruppen. Neben $\langle \{{\overline {1}}\},*\rangle$ ist $\langle \{{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}}\},*\rangle$ die zweite triviale Untergruppe. --Neverlasting

weiterer Lösungsweg von Christoph R

Weiters kann man versuchen die Untergruppen durch erzeugen mit den einzelnen Elementen der Grundgruppe zu finden.

Errechnen der Untergruppen

• Element ${\overline {1}}$

${\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {1}}\Rightarrow \{{\overline {1}}\}$

• Element ${\overline {2}}$

${\overline {2}}*{\overline {2}}={\overline {4}}$
${\overline {4}}*{\overline {2}}={\overline {3}}$
${\overline {3}}*{\overline {2}}={\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {2}}={\overline {2}}$
$\Rightarrow \{{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}}\}$

• Element ${\overline {3}}$

${\overline {3}}*{\overline {3}}={\overline {4}}$
${\overline {4}}*{\overline {3}}={\overline {2}}$
${\overline {2}}*{\overline {3}}={\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {3}}={\overline {3}}$
$\Rightarrow \{{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}}\}$

• Element ${\overline {4}}$

${\overline {4}}*{\overline {4}}={\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {4}}={\overline {4}}$
$\Rightarrow \{{\overline {1}},{\overline {4}}\}$