TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 27

Man zeige, daß in R die Beziehung ${\sqrt {5041}}-{\sqrt {5040}}=71-12*{\sqrt {35}}={\frac {1}{71+12*{\sqrt {35}}}}$ gilt.

Was ergibt sich bei Rechnung in normalisierter Gleitkomma-Darstellung zur Basis 10 mit vierstelliger Mantisse.

Lösungsvorschlag

Ersetzen wir mal $71$ mit a und $12*{\sqrt {35}}$ mit b, dann hätten wir die Gleichung a -b = 1 /(a+b).

Umgeformt wäre das dann a² -b² = 1

Setzen wir dann wieder für a² 5041 und für b² 5040 ein, so ergibt das (5041-5040) = 1.

Somit wäre die Gleichung bewiesen.

Die Rechnung soll in normalisierter Gleitkommadarstellung zur Basis 10 erfolgen und das führt zu den bekannten Rundungsfehlern der ${\sqrt {35}}$, die anderen Zahlen sind ja ganzzahlig. ${\sqrt {35}}$ ist 5,916079, als Mantisse 0,5916*10^1

Wenn ich die dann ausmultiplizere (quadriere) ist das Ergebnis nicht 35 sondern 34,999056. Das mal 144 gibt 5039,8641 und nicht 5040, somit eine Differenz.

Wenn ich um leichter zu rechnen obigen Ansatz verwende, gibt es folgendes Ergebnis: 5041 - 5039,8641 = 1,1439 ungleich 1.

Vermutlich soll das Beispiel zeigen, daß ein Verkürzen der Mantisse der Wurzel zu Ungenauigkeiten führt. Kommt darauf an, wie man es im Detail rechnet. Möglich wäre auch folgendes:

(.7100*10^2 - .7099*10^2)*(.7100*10^2 + .7099*10^2) = 1, ausmultipliziert (.5041*10^4 - .50395801*10^4).

Noch seltsamer wird der Effekt wenn ich der Gleichung direkt folge.

(.7100*10^2 - .7099*10^2) = 0,0001*10^2 = 0,1000*10^-1

(.7100*10^2 + .7099*10^2) = 0,14199*10^3 = .1420*10^3

1/ .1420*10^3 = .0070 oder 0.07000*10^-1 und nicht 0,1000*10^-1

Hapi