TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 443

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Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von über dem Körper .

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existiert ein Programm-Entwurff (als Text) zur Suche der Restklassen-Elemente.
Große Lösungsformel
Große Lösungsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.

Restklassen
Restklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Restklassen modulo :

Restklassenring
Restklassenring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein gilt:

Eine Restklassenring bildet einen Körper, wenn prim (ansonsten existiert i.A. kein multiplikatives Inverses).

Lösung von Hapi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da man mit mit Restklassen rechen kann, sollte man für b = 1 mod 13 wie folgt einsetzen:

Das ergibt dann nach der Formel (die Restklassen darf ich ja in 13-er Schritten erweitern!)

 =  = 11 bzw. 8.

Das Einsetzen der Werte ergibt folgende Gleichungen mit Restklassen:

2*11² + (-20*13) + 11 +7 = -18 + 11 + 7 = 0 bzw. 2*8² + (-11*13) + 8 + 7 =

-15 + 8 +7 = 0

denn -20*13 und -11*13 sind zulässige Erweiterungen bei Modulo 13.

QED

Hapi

PS: Dies ist nur ein skizzierter Lösungsweg, die Restklassenstriche bitte dazudenken. Rechnerisch stimme ich mit der formal schöneren Lösung von Baccus (Beispiel 310, Beispiel 311) vollkommen überein. Der einzige Unterschied liegt darin, wie wir die Angabe interpretieren. Baccus meint die Lösung seien Restklassen und führt auch sehr überzeugende Argumente dafür an, ich bin eher etwas mißtrauisch da die x in der Angabe ohne Restklassenstriche sind. Würde daher vorschlagen, auf beide Möglichkeiten vorbereitet zu sein, denn beide Versionen erfüllen die Gleichung. Die Restklassen wären bei Modulo 13 zugleich auch obige Lösung (11 bzw. 8).


Die Entscheidung ist gefallen, das Ergebnis sind doch Restklassen, der Schlüsses ist "alle Lösungen" und das kann nicht nur eine sein, somit eine Restklasse.

Hapi

Lösung von Jozott[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie Lösungsweg in 437 von Baccus.

Die Diskriminante ist negativ, aber in .

Also erweitern wir z.B. mit : .

Dann ist

,

.

Das ganze kann man dann einfach einsetzen und austesten.

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wikipädia:

Ähnliche Beispiele: