TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 443

Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von ${\overline {2}}x^{2}+x+{\overline {7}}={\overline {0}}$ über dem Körper $\mathbb {Z} _{13}$.

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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Es existiert ein Programm-Entwurff (als Text) zur Suche der Restklassen-Elemente.

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$ax^{2}+bx+c=0\quad \Longrightarrow \quad x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Restklassen

Restklassen

Restklassen modulo $m$:

${\overline {a}}=\lbrace a+km|k\in \mathbb {Z} \rbrace _{m}$

Restklassenring

Restklassenring

Allgemein gilt:

Eine Restklassenring $R_{m}$ bildet einen Körper, wenn $m$ prim (ansonsten existiert i.A. kein multiplikatives Inverses).

Lösung von Hapi

Da man mit mit Restklassen rechen kann, sollte man für b = 1 mod 13 wie folgt einsetzen:

Das ergibt dann nach der Formel (die Restklassen darf ich ja in 13-er Schritten erweitern!)

$\quad x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4*2*7}}}{2*2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {(1+13*7)-56}}}{4}}={\frac {-1\pm {\sqrt {36}}}{4}}$ = ${\frac {(-1+13*3)\pm 6}{4}}={\frac {38\pm 6}{4}}$ = 11 bzw. 8.

Das Einsetzen der Werte ergibt folgende Gleichungen mit Restklassen:

2*11² + (-20*13) + 11 +7 = -18 + 11 + 7 = 0 bzw. 2*8² + (-11*13) + 8 + 7 =

-15 + 8 +7 = 0

denn -20*13 und -11*13 sind zulässige Erweiterungen bei Modulo 13.

QED

Hapi

PS: Dies ist nur ein skizzierter Lösungsweg, die Restklassenstriche bitte dazudenken. Rechnerisch stimme ich mit der formal schöneren Lösung von Baccus (Beispiel 310, Beispiel 311) vollkommen überein. Der einzige Unterschied liegt darin, wie wir die Angabe interpretieren. Baccus meint die Lösung seien Restklassen und führt auch sehr überzeugende Argumente dafür an, ich bin eher etwas mißtrauisch da die x in der Angabe ohne Restklassenstriche sind. Würde daher vorschlagen, auf beide Möglichkeiten vorbereitet zu sein, denn beide Versionen erfüllen die Gleichung. Die Restklassen wären bei Modulo 13 zugleich auch obige Lösung (11 bzw. 8).

---

Die Entscheidung ist gefallen, das Ergebnis sind doch Restklassen, der Schlüsses ist "alle Lösungen" und das kann nicht nur eine sein, somit eine Restklasse.

Hapi

Lösung von Jozott

Wie Lösungsweg in 437 von Baccus.

Die Diskriminante $D=b^{2}-4ac={\overline {1}}^{2}-4\cdot {\overline {2}}\cdot {\overline {7}}=-55$ ist negativ, aber in $\in {\overline {10}}_{\mathbb {Z} 13}$.

Also erweitern wir $D$ z.B. mit $7m|_{m=13}$: $\quad {\underset {6\in {\overline {6}}}{\underbrace {\sqrt {\underset {=36\in {\overline {10}}}{\underbrace {-55+7m|_{m=13}} }}} }}$ $=6\in {\overline {6}}$.

Dann ist $x_{1,2}={\frac {{\overset {\in {\overline {12}}}{\overbrace {-{\overline {1}}} }}\pm {\overset {\in {\overline {6}}}{\overbrace {\sqrt {D}} }}}{\underset {\in {\overline {4}}}{\underbrace {2\cdot {\overline {2}}} }}}\Longrightarrow$

$x_{1}={\frac {{\overline {12}}+{\overline {6}}\quad ({\overset {z.B}{+}}2m|_{m=13})}{\overline {4}}}={\overline {11}}$,

$x_{2}={\frac {{\overline {12}}-{\overline {6}}\quad ({\overset {z.B}{-}}2m|_{m=13})}{\overline {4}}}=-5\in {\overline {8}}$.

Das ganze kann man dann einfach einsetzen und austesten.

Links

• Java-Programm-Entwurf.
• Diskussion von Beispiel 311 (vormals 303) im Informatik-Forum

Wikipädia:

• Quadratische Gleichung
• Restklassenring
• Restklassen
• Körper

Ähnliche Beispiele:

• Beispiel 310
• Beispiel 311