TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 37

Man beweise $\overline{\left(\begin{array}{c}\frac{z_1}{z_2}\end{array}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}},(z_1,z_2\in ℂ)$.

Lösungsvorschlag mit Darstellung in Polarkoordinaten:

$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\overline{\frac{[r_1,{\phi }_1]}{[r_2,{\phi }_2]}}=\overline{[\frac{r_1}{r_2},{\phi }_1-{\phi }_2]}=[\frac{r_1}{r_2},-{\phi }_1+{\phi }_2]=\frac{[r_1,-{\phi }_1]}{[r_2,-{\phi }_2]}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

Denke das sind einfache Umformungen mit den Rechenregeln für Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten.

Das Stricherl über dem $z$ heißt, dass das $\overline{z}$ die konjugiert Komplexe Zahl von $z$ ist.

Siehe auch: https://web.archive.org/web/20180817161101/https://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen

Tonico

Alternative Lösung

für Leute, die lieber im Tabloid-Style rechnen :-),

Rechenregeln:

Konjunktion: $\bar{z}=\overline{[r,\phi ]}=[r,-\phi ]$

Division: $\frac{[r_1,{\phi }_1]}{[r_2,{\phi }_2]}=[r_1/r_2,{\phi }_1-{\phi }_2]$

Also:

$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

$\overline{\left(\frac{[r_1,{\phi }_1]}{[r_2,{\phi }_2]}\right)}=\frac{[r_1,-{\phi }_1]}{[r_2,-{\phi }_2]}$

$\overline{[r_1/r_2,{\phi }_1-{\phi }_2]}=[r_1/r_2,-{\phi }_1+{\phi }_2]$

$[r_1/r_2,-{\phi }_1+{\phi }_2]=[r_1/r_2,-{\phi }_1+{\phi }_2]$

--Baccus 05:29, 26. Nov 2006 (CET)