TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 546

Bestimmen Sie mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K:

a) $K=\mathbb {R}$

b) $K=\mathbb {Z} _{2}$

${\begin{aligned}-3x_{1}&+x_{2}+2x_{3}&+x_{4}&=2\\-x_{1}&+x_{2}+x_{3}&-x_{4}&=1\\-5x_{1}&+x_{2}+3x_{3}&+3x_{4}&=1\end{aligned}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von RolandU, erweitert von mnemetz

Zuerst einmal bringe ich das ganze in eine tabellarische Form.

${\begin{aligned}-3\cdot x_{1}&+&x_{2}&+&2\cdot x_{3}&+&x_{4}&=&2\\-x_{1}&+&x_{2}&+&x_{3}&-&x_{4}&=&1\\-5\cdot x_{1}&+&x_{2}&+&3\cdot x_{3}&+&3\cdot x_{4}&=&1\end{aligned}}$

Das stellen wir als Matrix dar:

${\begin{pmatrix}-3&1&2&1&|&2\\-1&1&1&-1&|&1\\-5&1&3&3&|&1\\\end{pmatrix}}$

Da das drei unabhängige Gleichungen sind, kann ich sie beliebig anschreiben. Im Grunde haben sie ja nichts miteinander zu tun. Deswegen vertausche ich jetzt die 1. und die 2. Zeile.

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\-3&1&2&1&|&2\\-5&1&3&3&|&1\\\end{pmatrix}}$

So, als nächstes ein paar Umformungen.

• Zeile II neu = Zeile II - 3 * Zeile I
• Zeile III neu = Zeile III - 5 * Zeile I

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\0&2&1&-4&|&1\\0&4&2&-8&|&4\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\0&-2&-1&4&|&-1\\0&-4&-2&8&|&-4\\\end{pmatrix}}$

• Next step: III - 2*II

${\begin{pmatrix}-1&1&1&-1&|&1\\0&2&1&-4&|&1\\0&0&0&0&|&-2\\\end{pmatrix}}$

0 = -2 - das ist nicht lösbar!

• Ich glaube das Ergebnis nicht und suche den Rechenfehler... (RolandU)
• Roland, das Ergebnis stimmt schon! Das Gleichungssystem hat gar keine Lösung! (mnemetz)

b) $K=\mathbb {Z} _{2}$

• siehe Datei:Mathe1-sol.pdf