TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 569

Berechnen Sie zur folgenden Matrix A mit Eintragungen aus $\mathbb {R}$ die Matrix $A^{3}$.

$A={\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}}$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von mnemetz

$A^{3}=\underbrace {{\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}}} _{\begin{matrix}&&&0&a&b\\&&&0&0&c\\&&&0&0&0\\0&a&b&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {a*c}}\\0&0&c&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\0&0&0&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\\end{matrix}}*{\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}}=$

$\underbrace {{\begin{pmatrix}0&0&a*c\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}}} _{\begin{matrix}&&&0&0&a*c\\&&&0&0&0\\&&&0&0&0\\0&a&b&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\0&0&c&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\0&0&0&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\\end{matrix}}=$

$={\begin{pmatrix}{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\\end{pmatrix}}$

Verifizierung mit MATLAB

Symbolische Variablen a,b,c setzen

  >> a = sym('a');
  >> b = sym('b');
  >> c = sym('c');

Matrix definieren

  >> A = [0 a b; 0 0 c; 0 0 0]
     A =
     [ 0, a, b]
     [ 0, 0, c]
     [ 0, 0, 0]

A*A

  >> A*A
    ans =
     [   0,   0,   c*a]
     [   0,   0,   0]
     [   0,   0,   0]

A*A*A

  >> A*A*A
    ans = 
     [ 0, 0, 0]
     [ 0, 0, 0]
     [ 0, 0, 0]