TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 580

Sei

$A={\begin{pmatrix}-2&4&0\\5&-1&7\\2&0&3\end{pmatrix}}$.

Man zeige, dass A nichtsingulär ist und berechne $A^{-1}$. Schließlich ermittle man $A*A^{-1}$ und $A^{-1}*A$ und

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Lösungsvorschlag von mnemetz

Nachweis, daß A ist nichtsingulär ist

Damit ich sichergehen kann, dass A invertierbar ist, muss ich zeigen, dass die Determinante nicht Null ist.

$A={\begin{pmatrix}-2&4&0\\5&-1&7\\2&0&3\end{pmatrix}}(-2)*(-1)*3+4*7*2+0-0-4*5*3-0=6+56+0-0-60={\mathit {2}}$.

Die Invertierbarkeit ist daher gegeben!

(Determinante nach der Regel von Sarrus mit der Formel $det(A)={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}=a_{1,1}*a_{2,2}*a_{3,3}+a_{1,2}*a_{2,3}*a_{3,1}+a_{1,3}*a_{2,1}*a_{3,2}-a_{1,3}*a_{2,2}*a_{3,1}-a_{1,2}*a_{2,1}*a_{3,3}-a_{1,1}*a_{2,3}*a_{3,2}$ berechnet)

Berechnung der Inversen (mit Hilfe der Determinante)

Siehe z.B. auch den entsprechenden Wikipedia-Eintrag!

Die Inverse lässt sich mit Hilfe der Determinanten der Matrix berechnen, und zwar nach der Formel

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot A^{\dagger }$,

dabei ist $A^{\dagger }$ die komplementäre Matrix zu A (auch algebraisches Komplement genannt).

Die Transponierte der aus den vorzeichenbehafteten Minoren bestehende Matrix bezeichnet man als die zu A komplementäre Matrix A^#:

$A^{\sharp }:={\begin{pmatrix}+\det(A_{1,1})&-\det(A_{2,1})&\ldots &(-1)^{1+n}\det(A_{n,1})\\-\det(A_{1,2})&+\det(A_{2,2})&\ldots &(-1)^{2+n}\det(A_{n,2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(-1)^{n+1}\det(A_{1,n})&(-1)^{n+2}\det(A_{2,n})&\ldots &+\det(A_{n,n})\end{pmatrix}}$

Als erstes benötigen wir eine Art "Vorzeichenmuster": ${\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}}$

$A={\begin{pmatrix}-2&4&0\\5&-1&7\\2&0&3\end{pmatrix}}$.

$A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}-1&7\\0&3\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}5&7\\2&3\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}5&-1\\2&0\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}4&0\\0&3\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-2&0\\2&3\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&-4\\2&0\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}-4&0\\-2&-7\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-2&0\\5&7\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-2&4\\5&-1\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&-1&2\\-12&-6&8\\28&14&-18\end{pmatrix}}$.

Die Matrix muss nun transponiert werden:

$A^{\dagger }={\begin{pmatrix}-3&-12&28\\-1&-6&14\\2&8&-18\end{pmatrix}}$.

Somit erhalten für die inverse Matrix von A:

$A^{-1}={\frac {1}{2}}\cdot A^{\dagger }={\begin{pmatrix}-1,5&-6&14\\-0,5&-3&7\\1&4&-9\end{pmatrix}}$,

Berechnung der Inversen (mit Hilfe des Gauss-Verfahrens)

Auch mit dem Gauss'schen Eliminatiosnverfahren kann die Inverse berechnet werden (wird hier nicht behandelt!).

Berechnung von A*A^(-1) und A^(-1)*A

Falk-Methode

Das Falksche Schema ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der Matrizenmultiplikation von Hand bietet. Der linke Faktor, die (m × r)-Matrix, wird links von der (m × n)-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die (r × n)-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die ite Zeile des linken Multiplikanden und die jte Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Gegeben sind die Matrizen

$A_{3\times 2}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&-6\end{pmatrix}}$ und $B_{2\times 2}={\begin{pmatrix}-1&1\\1&-2\\\end{pmatrix}}$ .

Es soll das Produkt C = A · B ermittelt werden. C ist eine 3 × 2-Matrix.

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 2 2 5 3 3 -6

Es wird das Falksche Schema aufgestellt.

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 3 2 2 5 3 3 -6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der ersten Spalte von B multipliziert: 1 · (-1) + 4 · 1 = 3 und ergibt das Element c11 = 3.

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 3 -7 2 2 5 3 3 -6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 1 · 1 + 4 · (-2) = -7 und ergibt das Element c12 = -7.

...

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 3 -7 2 2 5 3 -8 3 3 -6 -9 15

Die dritte Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 3 · 1 + (-6) · (-2) = 15 und ergibt das Element c32 = 15.

A * A^-1

$A*A^{-1}={\begin{pmatrix}-2&4&0\\5&-1&7\\2&0&3\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}-1,5&-6&14\\-0,5&-3&7\\1&4&-9\end{pmatrix}}$

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

${\begin{matrix}&&&-1,5&-6&14\\&&&-0,5&-3&7\\&&&1&4&-9\\-2&4&0&{\mathit {1}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\5&-1&7&{\mathit {0}}&{\mathit {1}}&{\mathit {0}}\\2&0&3&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {1}}\\\end{matrix}}$

$A*A^{-1}={\begin{pmatrix}-2&4&0\\5&-1&7\\2&0&3\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}-1,5&-6&14\\-0,5&-3&7\\1&4&-9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

A^-1*A

$A^{-1}*A={\begin{pmatrix}-1,5&-6&14\\-0,5&-3&7\\1&4&9\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}-2&4&0\\5&-1&7\\2&0&3\end{pmatrix}}$

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

${\begin{matrix}&&&-2&4&0\\&&&5&-1&7\\&&&2&0&3\\-1,5&-6&14&{\mathit {1}}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\\-0,5&-3&7&{\mathit {0}}&{\mathit {1}}&{\mathit {0}}\\1&4&-9&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}&{\mathit {1}}\\\end{matrix}}$

$A^{-1}*A={\begin{pmatrix}-1,5&-6&14\\-0,5&-3&7\\1&4&-9\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}-2&4&0\\5&-1&7\\2&0&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$