TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 581

Nur teilweise gelöst: b) fehlt

a) Für welche $x\in \mathbb {Q}$ ist die Matrix A singulär?

$A={\begin{pmatrix}x&2&2\\1&1&x\\1&x&-1\end{pmatrix}}$

b) Bestimmen Sie für $x=1$ die inverse Matrix $A^{-1}$.

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a) Lösungsvorschlag von mnemetz

Eine Matrix, die nicht invertierbar ist, wird singulär genannt. Bei einer solchen ist die Determinante also 0.

Zu zeigen ist nun, für welches $x\in \mathbb {Q}$ die vorliegende Matrix nun singulär ist!

$det(A)=x\cdot 1\cdot (-1)+2\cdot x\cdot 1+2\cdot x\cdot 1-2\cdot 1\cdot 1-2\cdot 1\cdot (-1)-x^{3}=-x+2\cdot x+2\cdot x-2+2-x^{3}=3\cdot x-x^{3}$

(Determinante nach der Formel $det(A)={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}-a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}$ berechnet)

Die Matrix ist singulär für $3\cdot x-x^{3}=0$ (entspricht $x\cdot (3-x^{2})=0$).

• $x_{1}=0$
• $3-x^{2}=0\qquad \Rightarrow \qquad x_{2}=+{\sqrt {3}}\qquad \Rightarrow \qquad x_{2}\notin \mathbb {Q}$
• $3-x^{2}=0\qquad \Rightarrow \qquad x_{3}=-{\sqrt {3}}\qquad \Rightarrow \qquad x_{3}\notin \mathbb {Q}$

(D.h. die Matrix ist invertierbar für alle $x\in \mathbb {Q} \backslash \{0\}$)