TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 583

Nur teilweise gelöst: b) fehlt

a) Für welche $x\in \mathbb{Q}$ ist die Matrix A singulär?

$A=\left(\begin{array}{ccc}x& 2& 2\\ 1& 1& x\\ 1& x& -1\end{array}\right)$

b) Bestimmen Sie für $x=1$ die inverse Matrix $A^{-1}$.

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a) Lösungsvorschlag von mnemetz

Eine Matrix, die nicht invertierbar ist, wird singulär genannt. Bei einer solchen ist die Determinante also 0.

Zu zeigen ist nun, für welches $x\in \mathbb{Q}$ die vorliegende Matrix nun singulär ist!

$det(A)=x\cdot 1\cdot (-1)+2\cdot x\cdot 1+2\cdot x\cdot 1-2\cdot 1\cdot 1-2\cdot 1\cdot (-1)-x^3=-x+2\cdot x+2\cdot x-2+2-x^3=3\cdot x-x^3$

(Determinante nach der Formel $det(A)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right)=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}-a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}$ berechnet)

Die Matrix ist singulär für $3\cdot x-x^3=0$ (entspricht $x\cdot (3-x^2)=0$).

• $x_1=0$
• $3-x^2=0\Rightarrow x_2=+\sqrt{3}\Rightarrow x_2\notin \mathbb{Q}$
• $3-x^2=0\Rightarrow x_3=-\sqrt{3}\Rightarrow x_3\notin \mathbb{Q}$

(D.h. die Matrix ist invertierbar für alle $x\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\}$)