TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 582

Nur teilweise gelöst: b) fehlt

a) Für welche $x\in \mathbb {Q}$ ist die Matrix A singulär?

$A={\begin{pmatrix}3&x&1\\0&1&x\\x&-1&0\end{pmatrix}}$

b) Bestimmen Sie für $x=-1$ die inverse Matrix $A^{-1}$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Regel von Sarrus

Regel von Sarrus

Für eine $3\times 3$-Matrix, lässt sich die Determinante wie folgt berechnen:

Lösungsvorschlag von mnemetz

Eine Matrix, die nicht invertierbar ist, wird singulär genannt. Bei einer solchen ist die Determinante also 0.

Zu zeigen ist nun, für welches $x\in \mathbb {Q}$ die vorliegende Matrix nun singulär ist!

$det(A)=3*1*0+x*x*x+1*0*(-1)-1*1*x-x*0*(-1)-3*x*(-1)=0+x^{3}-x-0+3*x=x^{3}+2*x$

Damit singulär ist, muss gelten:

${\begin{aligned}x^{3}+2*x&=0\\x(x^{2}+2)&=0\\x^{2}+2&=0\\x^{2}&=-2\\\end{aligned}}$

Es gibt kein $x\in \mathbb {Q}$ also Lösung, sondern nur ein $x\in \mathbb {C}$, daher ist die Matrix A für alle $x\in \mathbb {Q} \backslash \{0\}$ invertierbar!

Anmerkung (mjung): oben hast du bei der Gleichung ${\begin{aligned}x(x^{2}+2)&=0\end{aligned}}$ einfach das x weggelassen. Das ist aber auch eine Nullstelle, also falls x = 0, ist die Gleichung 0 was die Matrix singulär machen würde. 0 ist Element von Q. In der Lösung hast hast du dann 0 aber weggelassen. So stimmt's auch, nur die letzte Bemerkung ist ein bisschen verwirrend.

Links

• Datei:Mathe1-sol.pdf