TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 418

Angabe

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: $det(A-(E_A\ast \lambda ))$, wobei $E_A$ der Einheitsvektor von A ist.

$Ei{g}_A=det(\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right))=det(\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & -1\\ -1& 1-\lambda \end{array}\right))$

$=(1-\lambda )\ast (1-\lambda )-1=1-2\ast \lambda +{\lambda }^2-1=-2\ast \lambda +{\lambda }^2=𝜆\mathit{\ast }\mathit{(}𝜆\mathit{-}2\mathit{)}$

$\underset{{\lambda }_1=0}{\underbrace{\lambda }}\ast \underset{{\lambda }_2=2}{\underbrace{(\lambda -2)}}$

Die Eigenwerte von A sind somit:

• ${\lambda }_1=0$
• ${\lambda }_2=2$