TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 420

Angabe

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

$A=\left(\begin{array}{ccc}5& -8& 10\\ -8& 11& 2\\ 10& 2& 2\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: $det(A-(E_A\ast \lambda ))$, wobei $E_A$ der Einheitsvektor von A ist.

$\left(\begin{array}{ccc}5& -8& 10\\ -8& 11& 2\\ 10& 2& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5-\lambda & -8& 10\\ -8& 11-\lambda & 2\\ 10& 2& 2-\lambda \end{array}\right)$

$det(A-E_A\ast \lambda )=(5-\lambda )\ast (11-\lambda )\ast (2-\lambda )+(-8)\ast 2\ast 10+10\ast (-8)\ast 2-10\ast (11-\lambda )\ast 10-(-8)\ast (-8)\ast (2-\lambda )-2\ast 2\ast (5-\lambda )=$

$(55-5\ast \lambda -11\ast \lambda +{\lambda }^2)\ast (2-\lambda )-320-100\ast (11-\lambda )-64\ast (2-\lambda )-4\ast (5-\lambda )=$

$(55-16\ast \lambda +{\lambda }^2)\ast (2-\lambda )-320-1100+100\ast \lambda -128+64\ast \lambda -20+4\ast \lambda =$

$=\dots =$

$=\mathit{-}{𝜆}^3\mathit{+}18\mathit{\ast }{𝜆}^2\mathit{+}81\mathit{\ast }𝜆\mathit{-}1458$

Nullstellen des Eigenwertpolynoms $\mathit{-}{𝜆}^3\mathit{+}18\mathit{\ast }{𝜆}^2\mathit{+}81\mathit{\ast }𝜆\mathit{-}1458$ sind zu suchen:

• ${\lambda }_1=9$
• ${\lambda }_2=-9$
• ${\lambda }_3=18$

(${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$ und ${\lambda }_3$ ergeben sich durch die Formel von Cardano)