TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 50

Man berechne alle Werte von ${\sqrt {7+24i}}=a+bi$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.

(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile).

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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Nützliches und Hilfreiches:

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$ax^{2}+bx+c=0\quad \Longrightarrow \quad x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

siehe auch Beispiel 73

Lösungsvorschlag

Die Gleichung quadriert ergibt folgendes:

 7 + 24i = a² - b² + 2abi   Realteil:  7 = a² - b²  Imaginärteil:   24i = 2abi oder 12 = ab

Diesen Wert kann ich in die Gleichung 7 = a² - b² einsetzen, das ergibt dann -144/a² + a² = 7

Als nächsten Schritt ersetze ich a² durch x und forme die Gleichung -144/x +x = 7 um, indem ich mit x multipliziere:

x² - 7x - 144 = 0

Nun habe ich eine quadratische Gleichung, die ich auf zwei Wegen lösen kann:

Der klarere Weg (da keine Lösung übersehen wird) ist das Einsetzen in die Lösungsformel

    $x=-(-7/2)\pm {\sqrt {7*7-(-4*144)}}/2=7/2\pm 25/2$    d.h. x1 = 16 und x2 = -9
    $x_{1}=a^{2}=16$  $x_{2}=a^{2}=-9$

 Das ergibt für a folgende 2 Werte:  +4, -4; 
 Die Lösungen +3i und -3i dürfen ignoriert werden, da a nur reel sein darf.
 
 Da b = 12/a ist gibt es für b folgende 2 Werte:  +3, -3;
 
 Das ergibt dann folgende Gleichungen, die quadriert alle 7+ 24i ergeben:
 1) (4 + 3i)    2) (-4 - 3i)

Eine andere Moeglichkeit ist:

 Ich erweitere die Gleichung um + 49/4 und -49/4 auf x² - 7x + 49/4 -(49+4*144)/4 = 0  somit (x - 7/2)² = 625/4
 
 Beim nachfolgenden Wurzelziehen wird meist übersehen, daß auch die rechte Seite 2 Lösungen hat
    
    ${\sqrt {625/4}}=\pm 25/2$  somit x = 7/2 $\pm$ 25/2 
    $x_{1}=a^{2}=16$  $x_{2}=a^{2}=-9$
   
    Die Werte für a und b werden dann wie oben berechenet

Hapi