TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 48

Man untersuche die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $\langle b_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$, $\langle c_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ mit $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ finde:

$a_{n}={\frac {1}{(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{(n+2)^{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {1}{(n+n)^{2}}}$

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Lösungsvorschlag von --W wallner

Der folgende Beweis wurde in der Übung am 24.01.08 durch den Tutor als korrekt bestätigt.

Die Werte von $a_{n}$ beginnen bei ${\frac {1}{4}}$ (für n=1) und fallen dann ziemlich schnell ab. Wenn man sich die Werte in einem Diagramm darstellen lässt, liegt der Verdacht nahe, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

Ich habe folgende Folgen für den Beweis des Sandwich-Theorems gewählt:

$b_{n}=0$

$c_{n}={\frac {1}{n}}$

$b_{n}$ und $c_{n}$ konvergieren beide gegen 0, wobei $b_{n}<a_{n}$ und $c_{n}>a_{n}$ gilt. Die Auswahl der beiden Folgen ist willkürlich, d.h. der Beweis würde genau so gut mit anderen Folgen funktionieren, wenn diese Folgen die Kriterien erfüllen.

Begründung für $b_{n}$: Wir suchen eine beliebige Folge die immer kleiner ist als $a_{n}$ und gegen 0 konvergiert. Die einfachste Folge ist $b_{n}=0$.

Begründung für $c_{n}$:

Wir suchen eine uns bekannte (und möglichst einfache) Folge, die gegen 0 konvergiert, aber immer größer als $a_{n}$ ist. Welche Folge wir dafür benutzen ist egal. Wir versuchen also die Folge $a_{n}$ so zu vereinfachen, dass wir eine größere Folge erhalten. Wenn wir in $a_{n}$ alle Ausdrücke wie (n+1), (n+2), (n+3), etc. durch (n+0) = (n) ersetzen, erhalten wir statt

$a_{n}={\frac {1}{(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{(n+2)^{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {1}{(n+n)^{2}}}$

diesen Ausdruck

$c_{n}={\frac {1}{(n)^{2}}}+{\frac {1}{(n)^{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {1}{(n)^{2}}}$

Dieser Ausdruck ist immer größer als der ursprüngliche, weil die Nenner immer kleiner sind. Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass er gegen 0 konvergiert. Wir vereinfachen daher:

$c_{n}={\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {1}{n^{2}}}=$

$c_{n}={\frac {n}{n^{2}}}=$

$c_{n}={\frac {1}{n}}$

Und dieser Ausdruck konvergiert gegen 0:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}=0$

mfg, --W wallner

Anmerkung von loop

$c_{n}={\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {1}{n^{2}}}=$

Wo konvergiert das gegen 0? Für mich ist das eine gleichbleibende Folge ohne Grenzwert, da verändert sich ja nichts.

Antwort von Blµb

bei n=5: $c_{n}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{25}}={\frac {5}{25}}={\frac {1}{5}}$

bei n=6 $c_{n}=6\cdot {\frac {1}{36}}={\frac {6}{36}}={\frac {1}{6}}$

somit ist das ergebnis wie oben bei jedem n: $c_{n}={\frac {1}{n}}$ und je höher n, desto näher ist das Ergebnis bei 0

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}=0$

Nützliches

Wikipedia-Artikel zum Sandwich-Theorem

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