TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 50
Man untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen mit finde.
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sandwich-Theorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Buch: Satz 4.22 (Seite 146) Im Grunde steht da nur das von der Angabe. Vielleicht findet man Hinweise zur Anwendung wenn man's googelt (auch Einschließungssatz, Einschnürungssatz, oder engl. Squeeze-Theorem)
Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Bringen wir das mal in eine Summenformel:
Damit sollte die Folge der Angabe rauskommen.
Wir überlegen uns jetzt 2 Folgen, die zu unserer zwar unterschiedlich sind aber gegen den selben Grenzwert streben. Eine Folge die kleiner ist (), eine die größer ist (). Wenn die beiden gegen den selben Grenzwert streben und unsere genau dazwischen liegen soll, haben wir den Grenzwert bewiesen.
Uns stört vor allem, dass das n innerhalb der Summenformel vorkommt. Wir wollen eine offensichtlich kleinere (und eine zweite, größere Folge) bei der n nämlich unendlich ist. Also versuchen wir eine kleinere/größere Formel zu finden bei der man das n weglassen/herausheben kann.
Wir wissen laut Buch 4.38 dass
Bemerkung: Das sollte glaub ich sein:
Wäre schön wenn wir das mit einer deutlich kleineren als unserer Folge auch machen könnte. Und k ist immer kleiner n. Also formen wir um:
Anm.[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Kann wohl nicht stimmen, hier sollte b_n <= a_n sein, und nicht umgekehrt!
Und für was größeres:
Wir sehen, beide Folgen haben den Grenzwert 1 also hat ebenfalls den Grenzwert 1!
Und noch ein paar Werte, die es bestätigen:
a_1 = 2,00000
a_2 = 1,79192
a_3 = 1,55581
a_4 = 1,41631
a_5 = 1,32991
a_6 = 1,27225
a_7 = 1,23136
a_8 = 1,20097
a_9 = 1,17754
a_10 = 1,15895
.
.
.
a_1000 = 1,00150
Meine Berechnung dazu:
a_1 = 1
a_2 = 1,16
a_3 = 1,14
a_4 = 1,11
...
Aber auch mit stimmt nicht, da z.B.:
a_1 = 1
a_2 = 1,16
a_3 = 1,14
und
b_1 = 1/2
b_2 = 4/6
b_3 = 9/12
--78.104.123.6 19:42, 26. Dez. 2011 (CET)
Forum-Posts zu Sandwich-Theorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
https://web.archive.org/web/20180817161544/https://www.matheraum.de/read?t=332410
Bemerkung !!!
1/n --> 0 nicht --> 1 !
Anmerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn mich nicht alles täuscht, hast du als cn die harmonische Reihe genommen und die ist doch divergent. Sie konvertiert also mitnichten gegen 1. --Neverlasting
@Neverlasting:
Nein, es ist nicht die harmonische Reihe. Da 'n' hier NICHT unsere Laufvariable (sondern 'k') ist. Unsere 'Folge' sieht wie folgt aus:
z.B. für n=3: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1