TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 61

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n(n+2)}}$

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz passender Ausdrücke dar.)

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsweg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst bestimmt man sich die Partialbruchzerlegung des Summanden...

${\frac {3}{n(n+2)}}={\frac {A}{n}}+{\frac {B}{n+2}}$

$3=(n+2)\cdot A+n\cdot B=2A+n\cdot (A+B)$

Nun muss das $n$ verschwinden, also schreiben wir die die Gleichungen $3=2\cdot A$ und $0=A+B$ .
Die Werte für A und B kann man jetzt entweder sofort sehen, ausprobieren oder mit ein bisschen Pseudo-Gauss lösen:

${\begin{array}{ccc}2&0&3\\1&1&0\end{array}}\underbrace {\rightarrow } _{2.\ Zeile-{\frac {1}{2}}\cdot 1.\ Zeile}{\begin{array}{ccc}2&0&3\\0&1&-{\frac {3}{2}}\end{array}}\underbrace {\rightarrow } _{1.\ Zeile\ durch\ zwei}{\begin{array}{ccc}1&0&{\frac {3}{2}}\\0&1&-{\frac {3}{2}}\end{array}}$

Im letzten Schritt kann man nun direkt $A={\frac {3}{2}}$ und $B=-{\frac {3}{2}}$ ablesen.

$\Rightarrow {\frac {3}{n(n+2)}}={\frac {3}{2n}}-{\frac {3}{2(n+2)}}$

$\Rightarrow {\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+2}})$

Wenn man sich diese Partialsumme nun ansieht, erkennt man, dass sich viele Werte wieder gegenseitig aufheben. Man nennt das eine Teleskopsumme:

$s_{n}={\frac {3}{2}}\sum _{n\geq 1}({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+2}})={\frac {3}{2}}\cdot (1{\color {Blue}-{\frac {1}{\underbrace {1+2} _{=3}}}}+{\frac {1}{2}}{\color {Red}-{\frac {1}{4}}}{\color {Blue}+{\frac {1}{3}}}{\color {Green}-{\frac {1}{5}}}{\color {Red}+{\frac {1}{4}}}{\color {Cyan}-{\frac {1}{6}}}{\color {Green}+{\frac {1}{5}}}{\color {Brown}-{\frac {1}{7}}}+\cdots {\color {Cyan}+{\frac {1}{n-1}}}-{\frac {1}{n+1}}{\color {Brown}+{\frac {1}{n}}}-{\frac {1}{n+2}})=$
$={\frac {3}{2}}\cdot (\underbrace {1+{\frac {1}{2}}} _{={\frac {3}{2}}}-{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}})$

Von diesem Ausdruck aus lässt sich dann auch sehr einfach der Grenzwert berechnen:

$\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {3}{2}}\cdot ({\frac {3}{2}}-\underbrace {\frac {1}{n+1}} _{\rightarrow 0}-\underbrace {\frac {1}{n+2}} _{\rightarrow 0})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}={\frac {9}{4}}=2.25$