TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 46

Man zeige für natürliche Zahlen a, b die Eigenschaft $ggT(a,b)\cdot kgV(a,b)=a\cdot b$.

Lösungsvorschlag

Zuerst sollte man sich vergegenwärtigen, dass gilt:

$kgV(a,b)=a\cdot m=b\cdot n\qquad m,n\in \mathbb {N}$

m, n stehen in dem Fall allerdings nicht für beliebige Werte aus $\mathbb {N}$ sondern genau für je den einen Wert, für den die Multiplikation mit a bzw. b den kgV ergibt

Damit kann man in die Behauptung aus der Angabe einsetzen:

$ggT(a,b)\cdot a\cdot m=a\cdot b\Rightarrow ggT(a,b)={\frac {b}{m}}$

$ggT(a,b)\cdot b\cdot n=a\cdot b\Rightarrow ggT(a,b)={\frac {a}{n}}$

$\Rightarrow {\frac {b}{m}}={\frac {a}{n}}$

$b\cdot n=a\cdot m$

und hier erkennt man, dass hier links und rechts nichts anderes alls der kgV steht, wo wie wir ihn oben angeschrieben haben. D.h.:

$kgV=kgV$

was eine wahre Aussage ist, wodurch schließlich auch die Annahme aus der Angabe bewiesen wäre.