TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 46

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Man zeige für natürliche Zahlen a, b die Eigenschaft ggT(a, b) \cdot kgV(a, b) = a \cdot b.

Lösungsvorschlag[edit]

Zuerst sollte man sich vergegenwärtigen, dass gilt:

kgV(a,b) = a \cdot m = b \cdot n \qquad m,n \in \N

m, n stehen in dem Fall allerdings nicht für beliebige Werte aus \N sondern genau für je den einen Wert, für den die Multiplikation mit a bzw. b den kgV ergibt

Damit kann man in die Behauptung aus der Angabe einsetzen:

ggT(a, b) \cdot a \cdot m = a \cdot b \Rightarrow ggT(a,b) = \frac bm

ggT(a, b) \cdot b \cdot n = a \cdot b \Rightarrow ggT(a,b) = \frac an

\Rightarrow \frac bm= \frac an

b \cdot n= a \cdot m

und hier erkennt man, dass hier links und rechts nichts anderes alls der kgV steht, wo wie wir ihn oben angeschrieben haben. D.h.:

kgV = kgV

was eine wahre Aussage ist, wodurch schließlich auch die Annahme aus der Angabe bewiesen wäre.