TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 131

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f'(x)$:

$f(x)={\frac {\sqrt {x^{2}-4\cdot x+4}}{\sqrt {x^{2}-6\cdot x+3}}}$

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Lösungsvorschlag von mnemetz

Laut Buch folgt aus Stetigkeit nicht automatisch Differenzierbarkeit. In der Angabe steht aber nicht Stetigkeit. // warum dann tdm stetigkeit analysieren? Du sagst doch nur, wo eine Stelle nicht differenzierbar ist. Heißt doch nicht, dass es alle anderen sind?!

Analysiere Stetigkeit

Umformung der Angabe:

${\frac {\sqrt {x^{2}-4\cdot x+4}}{\sqrt {x^{2}-6\cdot x+3}}}={\frac {\sqrt {(x-2)\cdot (x-2)}}{\sqrt {(x-({\frac {1}{2}}\cdot (6-{\sqrt {24}})))\cdot (x-({\frac {1}{2}}\cdot (6+{\sqrt {24}})))}}}$

Umformung des Nenners ergibt sich aus den Nullstellen der quadratischen Gleichung:

$x^{2}-6\cdot x+3=0$

Betrachte nun Zähler und Nenner:

• Zähler darf nicht negativ sein (wohl aber Null!)
  • "Nicht erlaubte" $x$: gar keine (alles kann man einsetzen)
• Nenner darf nicht negativ UND nicht Null sein
  • "Nicht erlaubte" $x$: ${\tfrac {1}{2}}\cdot (6-{\sqrt {24}})\leq x\leq {\tfrac {1}{2}}\cdot (6+{\sqrt {24}})$

Die Funktion ist also stetig für alle $x\in \mathbb {R} :x>{\tfrac {1}{2}}\cdot (6+{\sqrt {24}})\,\,\wedge x<{\tfrac {1}{2}}\cdot (6-{\sqrt {24}})$ oder auch schoener: $x\in \mathbb {R} :3-{\sqrt {6}}\,\,<x<3+{\sqrt {6}}$

Ableitung

Allgemein dargestellt:

$f(x)={\frac {A^{\frac {1}{2}}}{B^{\frac {1}{2}}}}$

Allgemeine Ableitung:

$f'(x)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {A}{B}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {A'\cdot B-B'\cdot A}{B^{2}}}$

Ergebnis

Hier nur kurz das Ergebnis, das auch jeder Taschenrechner (der differenzieren kann) ausspucken würde:

${\frac {-(x+3)}{(x^{2}-6x+3)^{3/2}}}$

Der essenzielle Trick dabei ist, den Term im Zähler von Anfang an zu vereinfachen durch $(x-2)*(x-2)$, wodurch sich die Wurzel wegkürzt. Der Rest ist Quotientenregel, und Kettenregel, sowie ein bisschen umformen und kürzen. --W1n5t0n 21:31, 14. Okt. 2009 (CEST)

Frage: Wenn es jeder Taschenrechner ausspucken würde, warum dann das? WolframAlpha

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 428

Links

• Diskussion Informatik Forum SS08 Beispiel 5