TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 82

Man beweise, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind (D.h. gilt eine der drei Aussagen, gelten alle drei):

1. $A\subseteq B$
2. $A\cup B=B$
3. $A\cap B=A$

Ich würde dieses Beispiel auch einfach mit einer Wahrheitstafel lösen. Dann sieht man, dass alle Ausdrücke äquivalent sind!

Anm: Im SS16 wurde keine Lösung mittels Elementtabellen akzeptiert. Es war ein formaler Beweis erforderlich.

Vorschlag von Blµb

Also eine Lösung würd ichs nicht nennen, aber es wird zumindest ersichtlich wenn mans logisch aufschreibt:

$A\subseteq B\Rightarrow A=\{x:x\in B\}\Rightarrow \forall x\in A:x\in B\Rightarrow {\begin{cases}A\cup B=B{\mbox{ weil alle }}x\in A{\mbox{ auch }}\in B\\A\cap B=A{\mbox{ weil B alle }}x\in A{\mbox{ enthaelt}}\end{cases}}$

So leicht lässt sich dasselbe in verschiedene Worte fassen :P

Vorschlag von D4ni31

$A\subseteq B{\mbox{ heist, dass }}\forall x\in A{\mbox{ auch }}\in B$

Das gleiche gilt für $A\cup B=B$

$A\cap B$ sind alle Elemente die sowohl in A, als auch in B vorkommen.

Da alle Elemente die in A vorkommen auch in B sind gilt: $A\cap B=A$

Somit gilt für alle drei Aussagen: $\forall x\in A\Rightarrow x\in B$

Vorschlag von Knackwurst

Lösung durch Wahrheitstabelle. (Anm. Luki .. hab Tippfehler ausgebessert (2te Tabelle B statt A, Wahrheitsliste - WFWW im Schluss)

e ... element von, not e ... kein element von, W ... Wahr, F ... Falsch

A	Teilmenge von	B
e	W	e
e	F	not e
not e	W	e
not e	W	not e

A	vereinigt	B	=	B
e	e	e	W	e
e	e	not e	F	not e
not e	e	e	W	e
not e	not e	not e	W	not e

A	durchschnitt	B	=	A
e	e	e	W	e
e	not e	not e	F	e
not e	not e	e	W	not e
not e	not e	not e	W	not e

Da alle Wahrheitstafeln die Signatur WFWW haben sind sie miteinander äquivalent.

Lösungsvorschlag von MarS

Einfach alles in eine Wahrheitstafel haun u die Sache hat sich mMn ;)

A	B	A Teilmenge B	A vereinigt B	A durchschnitt B
1	1	1	1	1
1	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	0	0	0	0

Lösungsvorschlag von s3ns3

Irgendwie hab ich keine Ahnung wie die letzten beiden Lösungsverschläge zu verstehen sind. Darum hab ich hier einfach mal meinen reingetippt, so haben wir es dann auch vorne auf der Tafel gemacht...

A	B	A Teilmenge B	A vereinigt(oder) B = B	A durchschnitt (und) B = A
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	1	1

--Zool 21:56, 9. Nov 2008 (CET) Diese Lösung wurde auch im WS08 so aktzeptiert.