TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 104

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Identitäten für Mengen:

$(A\times B)\cap (A\times C)=A\times (B\cap C)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Wahrheitstabelle

Dieser Lösungs Ansatzt ist falsch, es kann keine Elemententafeln für kartesische Produkte verwendet werden!

Was eine Elementtablle ist, könnt ihr im "orangen Buch", Seite 36, nachlesen.

Die Elementtabelle sieht folgendermaßen aus:

$a\in A$	$b\in B$	$c\in C$	$A\times B$	$A\times C$	$(A\times B)\cap (A\times C)$	$B\cap C$	$A\times (B\cap C)$
$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\notin$	$\notin$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\notin$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\notin$	$\in$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\in$	$\notin$
$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\in$	$\notin$	$\in$	$\notin$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\in$	$\in$	$\notin$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\in$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$

--> $(A\times B)\cap (A\times C)=A\times (B\cap C)$

--- bla: Geht leider nicht, da man ein Element x nimmt und schaut ob es in den Mengen enthalten ist. Bei AxB entsteht eine Menge von Tupel, da ist x nicht dabei. Blöd gelaufen - hat unser Tutor so bestätigt...

Die Elementetafel geht in der Form nicht, wegen des kartesischen Produkts.

Zweiter Lösungsansatz (andihi):

$(A\times B)\cap (A\times C)=A\times (B\cap C)=$

$\{(x,y)|(x\in A\wedge y\in B)\wedge (x\in A\wedge y\in C)\}=$

$\{(x,y)|x\in A\wedge (y\in B\wedge y\in C)\}=\{(x,y)|x\in A\wedge (y\in B\cap C)\}={\text{gleichbedeutend mit:}}A\times (B\cap C)$