TU Wien:Mathematik 1 VO (Karigl)/Prüfung 2009-03-13

1. Beispiel: Euklidischer Algorithmus

$902x+330y=22$

kürzen auf

$41x+15y=1$

ges: euklidischer Algorithmus, sodass x und y ganze Zahlen sind.

Lösung:

x = -4

y = 11

--Tweety 7 12:05, 27. Jul. 2012 (CEST)

41x + 15y = 1

41 = 2*15 + 11

15 = 1*11 + 4

11 = 2*4 + 3

4 = 1*3 + 1

3 = 1*3 + 0

EEA

1 = 4 - 1*3

1 = 4 - 1*(11 - 2*4) = 1*4 - 1*11 + 2*4 = 3*4 - 1*11

1 = 3*(15 - 1*11) - 1*11 = 3*15 - 3*11 - 1*11 = 3*15 - 4*11

1 = 3*15 - 4*(41 - 2*15) = 3*15 - 4*41 + 8*15 = 11*15 - 4*41

x=-4 y=11

2. Beispiel: Entfernungsbaum

ges: Entfernungsbaum eines Graphen bestimmen (Deltoidform, ungerichtet, angegebene Gewichte) Knoten: P1 bis P5 (Start war P1).

3. Beispiel: Kurvendiskussion

$f(x)=\frac{(x^2+t)}{(x-t)}$

ges: Wie muss man den Parameter t setzen (t $\ne$ 2), sodass die Funktion in der Umgebung $x_0=2$ streng monoton steigt?

Lösung: (keine Garantie!)

$f(x)=\frac{(x^2+t)}{(x-t)}$ ist streng monoton steigend, wenn $f^{\prime }(x)>0$ ist.

1) ableiten

$f^{\prime }(x)=\frac{(2x\ast (x-t)-(x^2+t)\ast 1)}{(x-t{)}^2}=\frac{(x^2-2xt-t)}{(x-t{)}^2}$

2) für x=2 einsetzen und f'(x) > 0 setzen

$\frac{(4-5t)}{(2-t{)}^2}>0/\ast Nenner$

$(4-5t)>0$

$4/5>t$

-> f(x) ist streng monoton steigend an der Stelle $x_0$ für alle t < 4/5.

4. Beispiel: Theorie Vektoren

Was heißt linear abhängig / unabhängig? (+ BSP)

Was ist die Basis? (+BSP)

Gib 2 Basen fuer Polynome 2. Grades an P2(R). (oder so aehnlich) $a{x}^2+bx+c$

5. Beispiel: Binomialkoeffizient

Einige Fragen zum ankreuzen (8 Stück). Mit der Formelsammlung aus dem LMZ konnte man dieses Beispiel zu 100% loesen.

z.B.:

$\left(\begin{array}{c}12\\ 10\end{array}\right)=?$ (Antwort: 66)

7. Beispiel

$\left(\begin{array}{c}10\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{...}+\left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right)=1024$ wahr oder falsch? (wahr)

8. Beispiel

$\left(\begin{array}{c}10\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)+-\mathrm{...}+\left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right)=0$ wahr oder falsch? (wahr)

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