TU Wien:Mathematik 1 VO (Karigl)/Prüfung 2009-05-15

Informatik-forum Thread: f.thread:73147

1. Beispiel: Kombinatorik

Wieviele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 6 aus 12 ? Wieviele 0er, 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er kann es geben. wobei jeweils immer genau 1,2,3 etc. übereinstimmen muss.

Lösung:

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 141

2. Beispiel: Gausssches Eliminationsverfahren

LGS lösen: ${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\\1&1&1\\2&4&1\\1&-1&2\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x1\\x2\\x3\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}6\\6\\3\\7\\2\end{pmatrix}}$

Was ist der Rang der Koeffizientenmatrix? Welchen Wert hat der Rang bei diesem LGS?

Anmerkung mick:

Lösung: x1=x2=x3=1

Tipp:

1) Sortiere alle Zeilen aufsteigend, nach den Werten in der 1. Spalte

2) 1. Zeile zu den übrigen addieren/subtrahieren etc. so das in den restlichen Zeilen in der 1. Spalte 0 steht

danach sollte es offensichtlich sein, wie die Matrix "aufzulösen" ist.

• lösung superphil0*

rang der Matrix ist 3

3. Beispiel: Kurvendiskussion

Untersuche $f(x)=-xe^{x}$ auf Nullstellen, Monotonie, Konvexität

4. Beispiel: Algebraische Strukturen

Definiere und gib ein Beispiel für: Ring, Integritätsring, Körper. Beweise das jeder endliche Integritätsring auch ein Körper ist.

5. Beispiel: Kreuzregeln über Konvergenz von Folgen und Reihen

Können keine, eine, oder mehrere Möglichkeiten richtig sein:

• a heisst Grenzwert der Folge $a_{n}$ falls:
  • $\forall \varepsilon >0\quad \forall N(\varepsilon )\quad \forall N>N(\varepsilon ):\quad \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$
  • $\forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon )\quad \forall N>N(\varepsilon ):\quad \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$
  • $\exists \varepsilon >0\quad \forall N(\varepsilon )\quad \forall N>N(\varepsilon ):\quad \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$
• $a_{n}=1/(n+3)^{2}$
  • monoton
  • beschränkt
  • konvergent
• $a_{n}=(-1)^{n+1}$
  • monoton
  • beschränkt
  • konvergent
• Jede konvergente Folge ist beschränkt.
  • Ja
  • Nein
• Jede beschränkte Folge ist konvergente.
  • Ja
  • Nein
• $a_{n}=(1+1/n)^{n}$
  • 0
  • 1
  • 2
  • e
  • ${\infty }$
• Ist die Folge konvergent, so ist auch die Reihe konvergent.
  • Ja
  • Nein
• Ist die Reihe konvergent, so ist auch die Folge konvergent.
  • Ja
  • Nein