TU Wien:Mathematik 1 VO (Karigl)/Prüfung 2009-05-15

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1. Beispiel: Kombinatorik[edit]

Wieviele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 6 aus 12 ? Wieviele 0er, 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er kann es geben. wobei jeweils immer genau 1,2,3 etc. übereinstimmen muss.


Lösung:

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 141

2. Beispiel: Gausssches Eliminationsverfahren[edit]

LGS lösen: 
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 
3 & 2 & 1 \\ 
1 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 1 \\
1 & -1 & 2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}x1 \\ 
x2 \\ 
x3\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}6 \\ 
6 \\ 
3 \\
7 \\
2\end{pmatrix}

Was ist der Rang der Koeffizientenmatrix? Welchen Wert hat der Rang bei diesem LGS?


Anmerkung mick:

Lösung: x1=x2=x3=1

Tipp:

1) Sortiere alle Zeilen aufsteigend, nach den Werten in der 1. Spalte

2) 1. Zeile zu den übrigen addieren/subtrahieren etc. so das in den restlichen Zeilen in der 1. Spalte 0 steht

danach sollte es offensichtlich sein, wie die Matrix "aufzulösen" ist.

  • lösung superphil0*

rang der Matrix ist 3

3. Beispiel: Kurvendiskussion[edit]

Untersuche  f(x) = -xe^x auf Nullstellen, Monotonie, Konvexität

4. Beispiel: Algebraische Strukturen[edit]

Definiere und gib ein Beispiel für: Ring, Integritätsring, Körper. Beweise das jeder endliche Integritätsring auch ein Körper ist.

5. Beispiel: Kreuzregeln über Konvergenz von Folgen und Reihen[edit]

Können keine, eine, oder mehrere Möglichkeiten richtig sein:

  • a heisst Grenzwert der Folge a_n falls:
    • \forall\varepsilon>0\quad\forall N(\varepsilon)\quad\forall N > N(\varepsilon):\quad\left|a_n-a\right|<\varepsilon
    • \forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall N > N(\varepsilon):\quad\left|a_n-a\right|<\varepsilon
    • \exists\varepsilon>0\quad\forall N(\varepsilon)\quad\forall N > N(\varepsilon):\quad\left|a_n-a\right|<\varepsilon
  • a_n=1/(n+3)^2
    • monoton
    • beschränkt
    • konvergent
  • a_n=(-1)^{n+1}
    • monoton
    • beschränkt
    • konvergent
  • Jede konvergente Folge ist beschränkt.
    • Ja
    • Nein
  • Jede beschränkte Folge ist konvergente.
    • Ja
    • Nein
  • a_n=(1+1/n)^n
    • 0
    • 1
    • 2
    • e
    • {\infty}
  • Ist die Folge konvergent, so ist auch die Reihe konvergent.
    • Ja
    • Nein
  • Ist die Reihe konvergent, so ist auch die Folge konvergent.
    • Ja
    • Nein