TU Wien:Mathematik 1 VO (Karigl)/Prüfung 2010-10-08

Angabe

Angabe der Prüfung aus Mathematik 1 für Informatik (Karigl) am 8.10.2010

Beispiel 1

Man beweise mittles vollständiger Induktion, dass

$1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}+...+{\frac {1}{\sqrt {n}}}\geq {\sqrt {n}}$ für $n\geq 2$

.

Beispiel 2

Sieben Rechner-Knoten sollen über ein Hochgeschwindikgeits-Datennetz miteinander verbunden werden. Die in Betracht kommenden Leitunsführungen und deren Kosten sind in nachstehendem bewertetem Graphen angegeben. Man bestimme alle kostenminimalen Datennetze an die sämtliche Knoten angeschlossen sind, sowie deren Gesamtkosten.

Beispiel 3 (a)

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls ihren Grenzwert.

$a_{n}={\frac {3n^{3}-4n^{2}+5}{3n^{3}-4n+5}}$

Beispiel 3 (b)

Man untersuche mit Hilfe eines geeigneten Konvergenzkriteriums die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\geq 0}{\frac {n+3}{5^{n}}}$

Beispiel 4

Erklären Sie die Begriffe Aussage und Prädikat, und illustrieren Sie an Beispielen, wie man Aussagen mittels Junktoren verknüpft bzw. Variable in Prädikaten mittels Quantoren bindet. Was ist eine Formel der Aussagenlogik und wann heißt sie gültig, erfüllbar und unerfüllbar. Geben Sie für alle Fälle ein Beispiel an.

Beispiel 5

Gegeben sei die Matrix $A\in \mathbb {R} ^{3x3}$ gemäß

$A=\left({\begin{matrix}3&-1&5\\4&-1&7\\0&-1&0\end{matrix}}\right)$.

Man berechnet die Determinante $det(A)$ und beantworte damit folgende Fragen (bitte ankreuzen).

Der Rang $rg(A)$ von $A$ beträgt a) 1 b) 2 c) 3.

Die drei Spaltenvektoren von $A$ sind a) linear abhängig b) linear unabhängig.

Die drei Zeilenvektoren von $A$ bilden eine Basis des $\mathbb {R} ^{3}$ a) ja b) nein.

Die Matrix $A^{T}$ ist invertierbar a) ja b) nein.

Das lineare Gleichungssystem $A\cdot x=0$ ist a) eindeutig lösbar b) nicht eindeutig lösbar c) überhaupt nicht lösbar.