TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 389

Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-6y=12\ln x$
durch
$y(x)=C_{1}x^{3}+{\frac {C_{2}}{x^{2}}}-2\ln x+{\frac {1}{3}}$ , $C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$
gegeben ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen $y(1)={\frac {2}{3}}$ , $y'(1)=-1\,$ ?

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$y(x)=C_{1}x^{3}+{\frac {C_{2}}{x^{2}}}-2\ln x+{\frac {1}{3}}$

$y'(x)=3C_{1}x^{2}-2{\frac {C_{2}}{x^{3}}}-2{\frac {1}{x}}$

$y''(x)=6C_{1}x+6{\frac {C_{2}}{x^{4}}}+2{\frac {1}{x^{2}}}$

${\begin{aligned}x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-6y&=12\ln x\\x^{2}\cdot \left(6C_{1}x+6{\frac {C_{2}}{x^{4}}}+2{\frac {1}{x^{2}}}\right)-6y&=12\ln x\\6C_{1}x^{3}+6{\frac {C_{2}}{x^{2}}}+2-6y&=12\ln x\\6y&=6C_{1}x^{3}+6{\frac {C_{2}}{x^{2}}}-12\ln x+2\\y&=C_{1}x^{3}+{\frac {C_{2}}{x^{2}}}-2\ln x+{\frac {1}{3}}\\\end{aligned}}$

Das ist nun das gleich $y(x)$ aus der Angabe.

$y(1)={\frac {2}{3}}=C_{1}\cdot 1^{3}+{\frac {C_{2}}{1^{2}}}-2\ln 1+{\frac {1}{3}}=C_{1}+C_{2}+{\frac {1}{3}}$

$y'(1)=-1=3C_{1}\cdot 1^{2}-2{\frac {C_{2}}{1^{3}}}-2{\frac {1}{1}}=3C_{1}-2C_{2}-2$

$C_{1}={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}-C_{2}={\frac {1}{3}}-C_{2}$

${\begin{aligned}-1&=3\left({\frac {1}{3}}-C_{2}\right)-2C_{2}-2\\-1&=1-3C_{2}-2C_{2}-2\\-1&=-5C_{2}-1\\C_{2}&=0\end{aligned}}$

$C_{1}={\frac {1}{3}}-0={\frac {1}{3}}$

$y(x)=C_{1}x^{3}+{\frac {C_{2}}{x^{2}}}-2\ln x+{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}x^{3}-2\ln x+{\frac {1}{3}}$

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Achtung das Vorzeichen des letzten Summanden für (4) scheint falsch zu sein! aichingm 29.05.2018 10:48:33

Einsetzen

(1) $\!\ x^{2}{d^{2}y \over dx^{2}}-6y=12ln(x)$

(2) $\!\ y(x)=C_{1}x^{3}+{C_{2} \over x^{2}}-2ln(x)+{1 \over 3}$
(3) $\!\ y'(x)=3C_{1}x^{2}-{2C_{2} \over x^{3}}-{2 \over x}$
(4) $\!\ y''(x)=6C_{1}x+{6C_{2} \over x^{4}}-{2 \over x^{2}}$

Wir setzen (4) und (2) in (1) ein
$\!\ x^{2}*(6C_{1}x+{6C_{2} \over x^{4}}-{2 \over x^{2}})-6*(C_{1}x^{3}+{C_{2} \over x^{2}}-2ln(x)+{1 \over 3})=12ln(x)$
und lösen auf
$\!\ 6C_{1}x^{3}+{6C_{2} \over x^{2}}-{2 \over 1}-6C_{1}x^{3}-{6C_{2} \over x^{2}}+12ln(x)-{6 \over 3}=12ln(x)$
wie man sieht fallen fast alle der Terme weg und es bleibt
$\!\ 12ln(x)=12ln(x)$
womit bestätigt ist dass (2) tatsächlich eine Lösung von (1) ist.

Anfangsbedingungen Setzen wir nun 1 in (2) und (3) ein
(5) $\!\ y(1)=C_{1}+{C_{2} \over 1}+{1 \over 3}$
(6) $\!\ y'(1)=3C_{1}-{2C_{2} \over 1}-2$

drücken wir nun aus (5) $C_{1}$ durch $C_{2}$ aus
$\!\ C_{1}={1 \over 3}-C_{2}$
und setzen das Ergebnis in (6) ein
$\!\ 1-3C_{2}-2C_{2}-2=-1$
$\!\ 5C_{2}=0$
$\!\ C_{2}=0\rightarrow \!\ C_{1}=1/3$