TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 417

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen

$y^{″}+7y^{\prime }+6y=\cosh (x)$

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Hilfreiches

Cosh

Cosh

$\cosh (x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$

Lösungsvorschlag von G underscore

--G underscore 19:02, 29. Jun. 2019 (CEST)

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Lösung der homogenen Gleichung

${\lambda }^2+7\lambda +6=0$

${\lambda }_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm \sqrt{\frac{49}{4}-6}=-\frac{7}{2}\pm \frac{5}{2}$

${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-6$

$y_h(x)=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-6x}$

Lösung der inhomogenen Gleichung

Da $\cosh (x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ gilt, können wir mit der Versuchslösung für die Exponentialfunktion arbeiten.

$y_p(x)=A{e}^x+B{e}^{-x}x$ Resonanzfall beachten!

$y_p(x{)}^{\prime }=A{e}^x+B(-e^{-x}x+e^{-x})$

$y_p(x{)}^{″}=A{e}^x+B(e^{-x}x-2e^{-x})$

Einsetzen in die Differenzengleichung:

$A{e}^x+B{e}^{-x}x+7(A{e}^x+B(-e^{-x}x+e^{-x}))+6(A{e}^x+B(e^{-x}x-2e^{-x}))=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$

$14A{e}^x+5B{e}^{-x}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$

$28A{e}^x+10B{e}^{-x}=e^x+e^{-x}$

Aus einem Koeffizientenvergleich folgt:

$A=\frac{1}{28},B=\frac{1}{10}$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-6x}+\frac{e^x}{28}+\frac{x{e}^{-x}}{10}$