TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 409

Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $y^{″}-y^{\prime }-2y=x$.

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Lösungsvorschlag

Homogene Lösung

$y^{″}-y^{\prime }-2y=0$

Charakteristische Gleichung: ${\lambda }^2-\lambda -2=0$

${\lambda }_{1,2}=\frac{1}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2}$

$\Rightarrow {\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=2$

${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ,{\lambda }_1\ne {\lambda }_2$

Ansatz: $y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$

$\Rightarrow y_h(x)=C_1{e}^{-1x}+C_2{e}^{2x}$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Partikuläre Lösung

Versuchslösung: $y_p(x)=A_0+A_{1}x$

${y_p}^{\prime }(x)=A_1$

${y_p}^{″}(x)=0$

Nun in die ursprüngliche Gleichung $y^{″}-y^{\prime }-2y=x$ einsetzen:

$\begin{array}{cc}0-A_1-2(A_0+A_{1}x)& =x\\ -2A_0-A_1-2A_{1}x& =x\end{array}$

Koeffizientenvergleich ergibt $-2A_1=1$ und $-2A_0-A_1=0$, woraus $A_1=-\frac{1}{2}$ und $A_0=\frac{1}{4}$ folgt.

Allgemeine Lösung

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{2x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x$

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 16:54, 12. Jun 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 163