TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 409

Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $y''-y'-2y=x$.

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Lösungsvorschlag

Homogene Lösung

$y''-y'-2y=0$

Charakteristische Gleichung: $\lambda ^{2}-\lambda -2=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+2}}$

$\Rightarrow \ \lambda _{1}=-1,\lambda _{2}=2$

$\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} ,\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$

Ansatz: $y(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}$

$\Rightarrow y_{h}(x)=C_{1}e^{-1x}+C_{2}e^{2x}$ mit $\ C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Partikuläre Lösung

Versuchslösung: $y_{p}(x)=A_{0}+A_{1}x$

$y_{p}'(x)=A_{1}$

$y_{p}''(x)=0$

Nun in die ursprüngliche Gleichung $y''-y'-2y=x$ einsetzen:

${\begin{aligned}0-A_{1}-2(A_{0}+A_{1}x)&=x\\-2A_{0}-A_{1}-2A_{1}x&=x\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich ergibt $-2A_{1}=1$ und $-2A_{0}-A_{1}=0$, woraus $A_{1}=-{\frac {1}{2}}$ und $A_{0}={\frac {1}{4}}$ folgt.

Allgemeine Lösung

$y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}x$

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 16:54, 12. Jun 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 163