TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialgleichungen 19

Man zeige, dass jede der Funktionen $z(x,y)=\frac{1}{a}x+C(y-\frac{b}{a}x)$, wo $C=C(u)$ eine willkürlich gewählte, differenzierbare Funktion in einer Variablen ist, Lösung der partiellen Differentialgleichung

$a\frac{\partial z}{\partial x}+b\frac{\partial z}{\partial y}=1$

(mit $a\ne 0$) ist. Wie lautet die Lösung zur Anfangsbedingung $z(x=0,y)=y^2+1$?

Lösungsvorschlag

Also wir sollen zu erst mal schauen, ob $a\frac{\partial z}{\partial x}+b\frac{\partial z}{\partial y}=1$ stimmt. Zu erst brauchen wir die partiellen Ableitungen von $z(x,y)$:

(Anmerkung: in der Angabe ist der Hinweis, dass $C(u)$ eine willkürlich gewählte Funktion in einer Variable ist. Das sollte einen Hinweis geben, dass man hier die Kettenregel nehmen soll: also äußere Ableitung bleibt die Funktion ein einer Variable $C(u)$ und dann die innere Funktion ableiten)

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{a}\cdot 1+C^{\prime }(y-\frac{b}{a}x)\cdot \underset{\text{innere Ableitung}}{\underbrace{(0-\frac{b}{a}\cdot 1)}}=\frac{1}{a}-\frac{b}{a}{C}^{\prime }(y-\frac{b}{a}x)$

$\frac{\partial z}{\partial y}=0+C^{\prime }(y-\frac{b}{a}x)\cdot \underset{\text{innere Ableitung}}{\underbrace{(1-0)}}=C^{\prime }(y-\frac{b}{a}x)$

so nun einsetzen in $a\frac{\partial z}{\partial x}+b\frac{\partial z}{\partial y}=1$:

$\begin{array}{cc}1& =a\frac{\partial z}{\partial x}+b\frac{\partial z}{\partial y}\\ 1& =a\cdot (\frac{1}{a}-\frac{b}{a}{C}^{\prime }(y-\frac{b}{a}x))+b\cdot C^{\prime }(y-\frac{b}{a}x)\\ 1& =1-b\cdot C^{\prime }(y-\frac{b}{a}x)+b\cdot C^{\prime }(y-\frac{b}{a}x)\\ 1& =1\end{array}$

Nun setzen wir die Anfangsbedingung $z(x=0,y)=y^2+1$ in unsere Angabe $z(x,y)=\frac{1}{a}x+C(y-\frac{b}{a}x)$ ein:

$z(0,y)=\frac{1}{a}0+C(y-\frac{b}{a}0)=C(y)$

Außerdem gilt ja die Anfangsbedingung $z(0,y)=y^2+1$ also muss gelten $C(y)=y^2+1$ und genau das ist unsere willkürlich gewählte Funktion $C(u)$ in einer Variable, also $C(u)=u^2+1$.

Nun müssen wir nur noch ablesen, was eigentlich unser $C(u)$ ist. Also schauen wir uns die gegebenen Funktion $z(x,y)=\frac{1}{a}x+\underset{C(u)}{\underbrace{C(y-\frac{b}{a}x)}}$ an und erkennen sofort, dass eben $C(u)=C(y-\frac{b}{a}x)\Rightarrow u=y-\frac{b}{a}x$ gilt. Also setzen wir $u$ in unsere willkürliche gewählte Funktion $C(u)=u^2+1$ der Anfangsbedingung ein:

$C(y-\frac{b}{a}x)={(y-\frac{b}{a}x)}^2+1$

Also lautet unsere Lösung zur Anfangsbedingung $z(0,y)=y^2+1$:

$z(x,y)=\frac{1}{a}x+{(y-\frac{b}{a}x)}^2+1$

Lösungsvorschlag

Karigl 2004 (Martin Pickelbauer)

Quelle

Karigl Beispielsammlung SS04 Beispiel 37