TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialgleichungen 19

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Man zeige, dass jede der Funktionen z(x,y) = \frac{1}{a}x + C \left( y - \frac{b}{a} x \right), wo C=C(u) eine willkürlich gewählte, differenzierbare Funktion in einer Variablen ist, Lösung der partiellen Differentialgleichung

a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} = 1

(mit a \neq 0) ist. Wie lautet die Lösung zur Anfangsbedingung z(x = 0, y) = y^2 + 1?

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Also wir sollen zu erst mal schauen, ob a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} = 1 stimmt. Zu erst brauchen wir die partiellen Ableitungen von z(x,y):

(Anmerkung: in der Angabe ist der Hinweis, dass C(u) eine willkürlich gewählte Funktion in einer Variable ist. Das sollte einen Hinweis geben, dass man hier die Kettenregel nehmen soll: also äußere Ableitung bleibt die Funktion ein einer Variable C(u) und dann die innere Funktion ableiten)

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{a} \cdot 1 + C' \left( y - \frac{b}{a}x \right) \cdot \underbrace{\left( 0 - \frac{b}{a} \cdot 1 \right) }_\text{innere Ableitung} = \frac{1}{a} - \frac{b}{a} C' \left( y - \frac{b}{a}x \right)

\frac{\partial z}{\partial y} = 0 + C' \left( y - \frac{b}{a}x \right) \cdot \underbrace{\left( 1 - 0 \right) }_\text{innere Ableitung} = C' \left( y - \frac{b}{a}x \right)


so nun einsetzen in a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} = 1:

\begin{align}
1 &= a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} \\
1 &= a \cdot \left( \frac{1}{a} - \frac{b}{a} C' \left( y - \frac{b}{a}x \right) \right) + b \cdot C' \left( y - \frac{b}{a}x \right) \\
1 &= 1 - b \cdot C' \left( y - \frac{b}{a}x \right) + b \cdot C' \left( y - \frac{b}{a}x \right) \\
1 &= 1
\end{align}


Nun setzen wir die Anfangsbedingung z(x = 0, y) = y^2 + 1 in unsere Angabe z(x,y) = \frac{1}{a}x + C \left( y - \frac{b}{a} x \right) ein:

z(0,y) = \frac{1}{a}0 + C \left( y - \frac{b}{a} 0 \right) = C(y)

Außerdem gilt ja die Anfangsbedingung z(0, y) = y^2 + 1 also muss gelten C(y) = y^2 + 1 und genau das ist unsere willkürlich gewählte Funktion C(u) in einer Variable, also C(u) = u^2 + 1.

Nun müssen wir nur noch ablesen, was eigentlich unser C(u) ist. Also schauen wir uns die gegebenen Funktion z(x,y) = \frac{1}{a}x + \underbrace{C \left( y - \frac{b}{a} x \right)}_{C(u)} an und erkennen sofort, dass eben C(u) = C \left( y - \frac{b}{a} x \right) \Rightarrow u = y - \frac{b}{a} x gilt. Also setzen wir u in unsere willkürliche gewählte Funktion C(u) = u^2 + 1 der Anfangsbedingung ein:

C \left( y - \frac{b}{a} x \right) = \left( y - \frac{b}{a} x \right)^2 + 1


Also lautet unsere Lösung zur Anfangsbedingung z(0,y) = y^2 + 1:

z(x,y) = \frac{1}{a}x + \left( y - \frac{b}{a} x \right)^2 + 1

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Karigl 2004 (Martin Pickelbauer)

Quelle[Bearbeiten]

Karigl Beispielsammlung SS04 Beispiel 37